示例

2 x + 2 y = 6

$2 x + 2 y = 6$ ,

x + 2 y > 9

$x + 2 y > 9$

解题步骤 1

引入松弛变量

u

$u$ 和

v

$v$ 以便使用方程替换不等式。

x + 2 y - Z = 9

$x + 2 y - Z = 9$

2 x + 2 y - 6 = 0

$2 x + 2 y - 6 = 0$

解题步骤 2

在等式两边都加上

6

$6$ 。

x + 2 y - Z = 9, 2 x + 2 y = 6

$x + 2 y - Z = 9, 2 x + 2 y = 6$

解题步骤 3

以矩阵形式书写方程组。

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 2 & 2 & 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ 2 & 2 & 0 & 6 \end{array}]$

解题步骤 4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 6 - 2 \cdot 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 6 - 2 \cdot 9 \end{array}]$

解题步骤 4.1.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 0 & - 2 & 0 & - 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ 0 & - 2 & 0 & - 12 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 0 & - 2 & 0 & - 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ 0 & - 2 & 0 & - 12 \end{array}]$

解题步骤 4.2

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 4.2.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 12 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 0 & 1 & 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 9 0 & 1 & 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \end{array}]$

解题步骤 4.3

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 4.3.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 9 - 2 \cdot 6 0 & 1 & 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 9 - 2 \cdot 6 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \end{array}]$

解题步骤 5

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$y = 6$

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