示例

y = 2 x^{2} - 12 x + 9

$y = 2 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1

将

0

$0$ 代入

y

$y$ 。

0 = 2 x^{2} - 12 x + 9

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 2

将方程化简为适当形式以进行配方。

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解题步骤 2.1

去掉圆括号。

0 = 2 x^{2} - 12 x + 9

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 2.2

因为

x

$x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

2 x^{2} - 12 x + 9 = 0

$2 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去

9

$9$ 。

2 x^{2} - 12 x = - 9

$2 x^{2} - 12 x = - 9$

2 x^{2} - 12 x = - 9

$2 x^{2} - 12 x = - 9$

解题步骤 3

将

2 x^{2} - 12 x = - 9

$2 x^{2} - 12 x = - 9$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将

2 x^{2} - 12 x = - 9

$2 x^{2} - 12 x = - 9$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

用

$x^{2}$ 除以

$1$ 。

$x^{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

约去

$- 12$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从

$- 12 x$ 中分解出因数

$2$ 。

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 (1)} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2.1.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 \cdot 1} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2.1.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} + \frac{- 6 x}{1} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.2.1.2.2.4

用

$- 6 x$ 除以

$1$ 。

$x^{2} - 6 x = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} - 6 x = - \frac{9}{2}$

解题步骤 4

要使等式左边得到三项式的平方，应求一个值，该值等于

$b$ 的二分之一的平方。

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

解题步骤 5

在等式两边都加上这一项。

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程。

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解题步骤 6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

化简

$- \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对

$- 3$ 进行

$2$ 次方运算。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9$

解题步骤 6.2.1.2

要将

$9$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.2.1.3

组合

$9$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.1.4

在公分母上合并分子。

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.5.1

将

$9$ 乘以

$2$ 。

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 18}{2}$

解题步骤 6.2.1.5.2

将

$- 9$ 和

$18$ 相加。

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{9}{2}$

解题步骤 7

将完全立方因式分解至

${(x - 3)}^{2}$ 。

${(x - 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

解题步骤 8

求解

$x$ 的方程。

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解题步骤 8.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x - 3 = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

解题步骤 8.2

化简

$\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ 。

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解题步骤 8.2.1

将

$\sqrt{\frac{9}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ 。

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.1

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.3

将

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 8.2.4.1

将

$\frac{3}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.4.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.2.4.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 8.2.4.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.2.4.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.2.4.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 8.2.4.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.2.4.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.2.4.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.6.4.1

约去公因数。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.2.4.6.4.2

重写表达式。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 8.2.4.6.5

计算指数。

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x - 3 = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

解题步骤 8.3.3

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x - 3 = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.4

在等式两边都加上

$3$ 。

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

解题步骤 8.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

小数形式：

$x = 5.12132034 \dots, 0.87867965 \dots$

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