示例

4 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以

12

$12$ 以使方程右边等于一。

\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于

1

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

1

$1$ 。

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量

a

$a$ 表示椭圆长轴的半径，

b

$b$ 表示椭圆短轴的半径，

h

$h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量，

k

$k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

a = 2

$a = 2$

b = \sqrt{3}

$b = \sqrt{3}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合

(h, k)

$(h, k)$ 的形式。代入

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

(0, 0)

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处

c

$c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式。

\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$\sqrt{4 - 3}$

解题步骤 5.3.3.2

从

$4$ 中减去

$3$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 5.3.3.3

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$1$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过

$k$ 加上

$a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将

$h$ 、

$a$ 和

$k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 2)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 2)$

解题步骤 6.4

椭圆的第二个顶点可通过让

$k$ 减去

$a$ 求出。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将

$h$ 、

$a$ 和

$k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (2))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 2)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过

$c$ 加上

$k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将

$h$ 、

$c$ 和

$k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 1)$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, 1)$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过

$k$ 减去

$c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将

$h$ 、

$c$ 和

$k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (1))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - 1)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

解题步骤 8.3.2.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

解题步骤 8.3.3

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

解题步骤 8.3.4

从

$4$ 中减去

$3$ 。

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

解题步骤 8.3.5

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点：

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ :

$(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ :

$(0, 1)$

${Focus}_{2}$ :

$(0, - 1)$

离心率：

$\frac{1}{2}$

解题步骤 10

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