示例

4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上

11

$11$ 。

4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$

解题步骤 2

对

4 x^{2} - 16 x

$4 x^{2} - 16 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 4

$a = 4$

b = - 16

$b = - 16$

c = 0

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去

- 16

$- 16$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从

- 16

$- 16$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ 中分解出因数

2

$2$ 。

d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 2.3.2.2

约去

$- 8$ 和

$4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从

$- 8$ 中分解出因数

$4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$4$ 。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 2}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用

$- 2$ 除以

$1$ 。

$d = - 2$

解题步骤 2.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对

$- 16$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$e = 0 - \frac{256}{16}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用

$256$ 除以

$16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 2.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 2.4.2.2

从

$0$ 中减去

$16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 2.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

解题步骤 3

在方程

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ 中，用

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$ 代替

$4 x^{2} - 16 x$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 18 y = 11$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上

$16$ 的方法来将

$- 16$ 移到等式右边。

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y = 11 + 16$

解题步骤 5

对

$9 y^{2} - 18 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去

$- 18$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从

$- 18$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从

$2 \cdot 9$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 9}{9}$

解题步骤 5.3.2.2

约去

$- 9$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从

$- 9$ 中分解出因数

$9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.4

用

$- 1$ 除以

$1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 5.4

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对

$- 18$ 进行

$2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$9$ 。

$e = 0 - \frac{324}{36}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用

$324$ 除以

$36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

解题步骤 5.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$9$ 。

$e = 0 - 9$

解题步骤 5.4.2.2

从

$0$ 中减去

$9$ 。

$e = - 9$

解题步骤 5.5

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$ 。

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$

解题步骤 6

在方程

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ 中，用

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$ 代替

$9 y^{2} - 18 y$ 。

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} - 9 = 11 + 16$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上

$9$ 的方法来将

$- 9$ 移到等式右边。

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 11 + 16 + 9$

解题步骤 8

化简

$11 + 16 + 9$ 。

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解题步骤 8.1

将

$11$ 和

$16$ 相加。

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 27 + 9$

解题步骤 8.2

将

$27$ 和

$9$ 相加。

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 36$

解题步骤 9

将每一项除以

$36$ 以使方程右边等于一。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于

$1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为

$1$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

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