示例

求垂直于平面 1 且经过原点的直线与平面 2 的交点
,
解题步骤 1
要求经过点 且垂直于平面 和平面 直线的交点:
1. 求平面 和平面 的法向量 。检验其点积是否为 0。
2. 创建一个参数方程组,比如
3. 将这些等式代入平面方程 ,使得 并求解
4. 使用 的值,求解参数方程 ,以求 的交集
解题步骤 2
求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。
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解题步骤 2.1
。求平面方程 的法向量
解题步骤 2.2
。求平面方程 的法向量
解题步骤 2.3
将法向量中相对应的 数值乘积相加,计算 的点积。
解题步骤 2.4
化简点积。
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解题步骤 2.4.1
去掉圆括号。
解题步骤 2.4.2
化简每一项。
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解题步骤 2.4.2.1
乘以
解题步骤 2.4.2.2
乘以
解题步骤 2.4.2.3
乘以
解题步骤 2.4.3
通过加上各数进行化简。
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解题步骤 2.4.3.1
相加。
解题步骤 2.4.3.2
相加。
解题步骤 3
下一步,使用点 的原点 和标准向量 的值,建立一组参数方程 。这组参数方程表示经过原点并与 垂直的直线。
解题步骤 4
将表达式 代入 的方程。
解题步骤 5
求解 的方程。
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解题步骤 5.1
化简
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解题步骤 5.1.1
合并 中相反的项。
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解题步骤 5.1.1.1
相加。
解题步骤 5.1.1.2
中减去
解题步骤 5.1.2
化简每一项。
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解题步骤 5.1.2.1
乘以
解题步骤 5.1.2.2
重写为
解题步骤 5.1.2.3
乘以
解题步骤 5.1.3
相加。
解题步骤 5.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.2.2
化简左边。
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解题步骤 5.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.2.2.1.2
除以
解题步骤 5.2.3
化简右边。
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解题步骤 5.2.3.1
将负号移到分数的前面。
解题步骤 6
使用 的值求解 的参数方程。
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解题步骤 6.1
求解 的方程。
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解题步骤 6.1.1
去掉圆括号。
解题步骤 6.1.2
去掉圆括号。
解题步骤 6.1.3
化简
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解题步骤 6.1.3.1
化简每一项。
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解题步骤 6.1.3.1.1
约去 的公因数。
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解题步骤 6.1.3.1.1.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 6.1.3.1.1.2
中分解出因数
解题步骤 6.1.3.1.1.3
中分解出因数
解题步骤 6.1.3.1.1.4
约去公因数。
解题步骤 6.1.3.1.1.5
重写表达式。
解题步骤 6.1.3.1.2
组合
解题步骤 6.1.3.1.3
乘以
解题步骤 6.1.3.1.4
将负号移到分数的前面。
解题步骤 6.1.3.2
中减去
解题步骤 6.2
求解 的方程。
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解题步骤 6.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 6.2.2
去掉圆括号。
解题步骤 6.2.3
化简
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解题步骤 6.2.3.1
乘以
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解题步骤 6.2.3.1.1
乘以
解题步骤 6.2.3.1.2
乘以
解题步骤 6.2.3.2
相加。
解题步骤 6.3
求解 的方程。
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解题步骤 6.3.1
去掉圆括号。
解题步骤 6.3.2
去掉圆括号。
解题步骤 6.3.3
化简
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解题步骤 6.3.3.1
乘以
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解题步骤 6.3.3.1.1
乘以
解题步骤 6.3.3.1.2
乘以
解题步骤 6.3.3.2
相加。
解题步骤 6.4
所求得的 的参数方程。
解题步骤 7
使用对 计算所得的值,求得的交点为
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