代数示例

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ ,

(0, 0, 1)

$(0, 0, 1)$

解题步骤 1

为每个向量命名。

{u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

{u⃗}_{2} = (0, 1, 1)

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

{u⃗}_{3} = (0, 0, 1)

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

解题步骤 2

第一个正交向量是给定向量集合中的第一个向量。

{v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

解题步骤 3

用公式求其他正交向量。

{v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - k - 1 \sum i = 1 {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

解题步骤 4

求正交向量

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ 。

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解题步骤 4.1

用公式求

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ 。

{v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

解题步骤 4.2

代入

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ 替换

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ 。

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

解题步骤 4.3

求

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ 。

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解题步骤 4.3.1

求点积。

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解题步骤 4.3.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2

化简。

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解题步骤 4.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

将

0

$0$ 乘以

1

$1$ 。

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.2.1.3

将

1

$1$ 乘以

1

$1$ 。

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.2.2

将

0

$0$ 和

1

$1$ 相加。

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

解题步骤 4.3.1.2.3

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

解题步骤 4.3.2

求

{v⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 的范数。

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解题步骤 4.3.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

一的任意次幂都为一。

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.3

一的任意次幂都为一。

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

解题步骤 4.3.2.2.5

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

解题步骤 4.3.3

用投影线公式求

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ 在

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ 上的投影线。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.4

代入

2

$2$ 替换

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.5

代入

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 替换

| | {v⃗}_{1} | |

$| | {v⃗}_{1} | |$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 4.3.6

代入

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ 替换

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7

化简右边。

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解题步骤 4.3.7.1

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 4.3.7.1.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1.4.1

约去公因数。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.4.2

重写表达式。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.1.5

计算指数。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 4.3.7.2

将

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.3.7.3.1

将

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 乘以

1

$1$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3.2

将

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 乘以

1

$1$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7.3.3

将

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 乘以

1

$1$ 。

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 4.4

代入投影线。

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

合并矢量的每一个分量。

(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.2

从

0

$0$ 中减去

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 。

(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.3

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.4

在公分母上合并分子。

(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.5

从

3

$3$ 中减去

2

$2$ 。

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

解题步骤 4.5.6

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.5.7

在公分母上合并分子。

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

解题步骤 4.5.8

从

3

$3$ 中减去

2

$2$ 。

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5

求正交向量

{v⃗}_{3}

${v⃗}_{3}$ 。

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解题步骤 5.1

用公式求

{v⃗}_{3}

${v⃗}_{3}$ 。

{v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

解题步骤 5.2

代入

(0, 0, 1)

$(0, 0, 1)$ 替换

{u⃗}_{3}

${u⃗}_{3}$ 。

{v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

解题步骤 5.3

求

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ 。

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解题步骤 5.3.1

求点积。

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解题步骤 5.3.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.2

化简。

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解题步骤 5.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

将

$0$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

将

$0$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

解题步骤 5.3.1.2.1.3

将

$1$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

解题步骤 5.3.1.2.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

解题步骤 5.3.1.2.3

将

$0$ 和

$1$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

解题步骤 5.3.2

求

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 的范数。

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解题步骤 5.3.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 5.3.2.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

解题步骤 5.3.2.2.5

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

解题步骤 5.3.3

用投影线公式求

${u⃗}_{3}$ 在

${v⃗}_{1}$ 上的投影线。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 5.3.4

代入

$1$ 替换

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 5.3.5

代入

$\sqrt{3}$ 替换

$| | {v⃗}_{1} | |$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

解题步骤 5.3.6

代入

$(1, 1, 1)$ 替换

${v⃗}_{1}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7

化简右边。

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解题步骤 5.3.7.1

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 5.3.7.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1.4.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.4.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.1.5

计算指数。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

解题步骤 5.3.7.2

将

$\frac{1}{3}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.3.7.3.1

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7.3.2

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 5.3.7.3.3

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$1$ 。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4

求

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ 。

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解题步骤 5.4.1

求点积。

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解题步骤 5.4.1.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2

化简。

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解题步骤 5.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.2.1.1

乘以

$0 (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1.1.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2.1.1.2

将

$0$ 乘以

$\frac{2}{3}$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2.1.2

将

$0$ 乘以

$\frac{1}{3}$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.1.2.1.3

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$1$ 。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.1.2.3

将

$0$ 和

$\frac{1}{3}$ 相加。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4.2

求

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 的范数。

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解题步骤 5.4.2.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2

化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.4.2.2.1.1

对

$- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.1.2

对

$\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.3

将

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.4

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.5

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.6

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.7

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.8

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.9

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.10

一的任意次幂都为一。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.11

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.12

在公分母上合并分子。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.13

将

$4$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.14

在公分母上合并分子。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.15

将

$5$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.16

约去

$6$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.16.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

解题步骤 5.4.2.2.16.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.16.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.4.2.2.16.2.2

约去公因数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 5.4.2.2.16.2.3

重写表达式。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.17

将

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.18

将

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.19

合并和化简分母。

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解题步骤 5.4.2.2.19.1

将

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.2

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.19.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.19.6.4.1

约去公因数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.4.2

重写表达式。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.4.2.2.19.6.5

计算指数。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.20

化简分子。

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解题步骤 5.4.2.2.20.1

使用根数乘积法则进行合并。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.20.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.4.3

用投影线公式求

${u⃗}_{3}$ 在

${v⃗}_{2}$ 上的投影线。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

解题步骤 5.4.4

代入

$\frac{1}{3}$ 替换

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

解题步骤 5.4.5

代入

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ 替换

$| | {v⃗}_{2} | |$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

解题步骤 5.4.6

代入

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 替换

${v⃗}_{2}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7

化简右边。

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解题步骤 5.4.7.1

化简分母。

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解题步骤 5.4.7.1.1

对

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2

将

${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为

$6$ 。

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解题步骤 5.4.7.1.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{6}$ 重写成

$6^{\frac{1}{2}}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.1.2.4.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.4.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.2.5

计算指数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.3

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4

约去

$6$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.1.4.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.7.1.4.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4.2.2

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.1.4.2.3

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.2

将分子乘以分母的倒数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.3

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.3.1

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.3.2

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.4

将

$\frac{1}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.4.7.5.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.7.5.1.1

将

$- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.1.2

从

$- 2$ 中分解出因数

$2$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.1.3

约去公因数。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.1.4

重写表达式。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.2

将负号移到分数的前面。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.3

乘以

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.4.7.5.3.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{3}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.3.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 5.4.7.5.4

乘以

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.4.7.5.4.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{3}$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

解题步骤 5.4.7.5.4.2

将

$2$ 乘以

$3$ 。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

解题步骤 5.5

代入投影线。

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

解题步骤 5.6

化简。

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解题步骤 5.6.1

合并矢量的每一个分量。

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

解题步骤 5.6.2

合并矢量的每一个分量。

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.3

乘以

$- (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 5.6.3.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.3.2

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$1$ 。

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.4

合并分数。

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解题步骤 5.6.4.1

在公分母上合并分子。

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.4.2

化简表达式。

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解题步骤 5.6.4.2.1

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.4.2.2

用

$0$ 除以

$3$ 。

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.5

将

$- 1$ 乘以

$\frac{1}{6}$ 。

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.6

从

$0$ 中减去

$\frac{1}{3}$ 。

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.7

要将

$- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.8

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$6$ 的形式。

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解题步骤 5.6.8.1

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.8.2

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.9

化简表达式。

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解题步骤 5.6.9.1

在公分母上合并分子。

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.9.2

从

$- 2$ 中减去

$1$ 。

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10

约去

$- 3$ 和

$6$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.10.1

从

$- 3$ 中分解出因数

$3$ 。

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.10.2.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10.2.2

约去公因数。

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.10.2.3

重写表达式。

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.11

将负号移到分数的前面。

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12

求公分母。

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解题步骤 5.6.12.1

将

$1$ 写成分母为

$1$ 的分数。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.2

将

$\frac{1}{1}$ 乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.3

将

$\frac{1}{1}$ 乘以

$\frac{6}{6}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.4

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.5

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.6

重新排序

$3 \cdot 2$ 的因式。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.12.7

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

解题步骤 5.6.13

在公分母上合并分子。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

解题步骤 5.6.14

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.6.14.1

从

$6$ 中减去

$2$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

解题步骤 5.6.14.2

从

$4$ 中减去

$1$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

解题步骤 5.6.15

约去

$3$ 和

$6$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.15.1

从

$3$ 中分解出因数

$3$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

解题步骤 5.6.15.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.15.2.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

解题步骤 5.6.15.2.2

约去公因数。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

解题步骤 5.6.15.2.3

重写表达式。

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

解题步骤 6

通过将每个正交向量除以其范数来求标准正交底数。

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

解题步骤 7

求单位向量

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ ，其中

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 。

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解题步骤 7.1

要求出与向量

$v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数

$v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 7.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 7.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 7.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

解题步骤 7.3.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{2 + 1}$

解题步骤 7.3.5

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{3}$

解题步骤 7.4

将向量除以其范数。

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

解题步骤 7.5

将向量中的每个元素除以

$\sqrt{3}$ 。

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

解题步骤 8

求单位向量

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ ，其中

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 8.1

要求出与向量

$v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数

$v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 8.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.3.1.1

对

$- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

对

$\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

将

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.4

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.5

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.6

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.7

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.8

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

解题步骤 8.3.9

对

$\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 8.3.10

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

解题步骤 8.3.11

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 8.3.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 8.3.13

将

$4$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

解题步骤 8.3.14

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

解题步骤 8.3.15

将

$5$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

解题步骤 8.3.16

约去

$6$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.16.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

解题步骤 8.3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.16.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 8.3.16.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 8.3.16.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.3.17

将

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 8.4

将向量除以其范数。

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

解题步骤 8.5

将向量中的每个元素除以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 。

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6

化简。

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解题步骤 8.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.2

将

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{2}{3}$ 。

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.3

将

$2$ 移到

$\sqrt{3}$ 的左侧。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.4

将

$3$ 移到

$\sqrt{2}$ 的左侧。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.5

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.6

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

解题步骤 8.6.7

将分子乘以分母的倒数。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 8.6.8

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

解题步骤 9

求单位向量

$\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ ，其中

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 9.1

要求出与向量

$v⃗$ 方向相同的单位向量，请除以范数

$v⃗$ 。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

解题步骤 9.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.3.2.1

对

$- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.2.2

对

$\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.4

将

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.5

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.6

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.3.7

对

$\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.3.8

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 9.3.9

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 9.3.10

将

$0$ 和

$\frac{1}{4}$ 相加。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 9.3.11

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

解题步骤 9.3.12

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

解题步骤 9.3.13

约去

$2$ 和

$4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.13.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 9.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.13.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.13.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.13.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.3.14

将

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.15

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.4

将向量除以其范数。

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

解题步骤 9.5

将向量中的每个元素除以

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6

化简。

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解题步骤 9.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.2

将

$0$ 乘以

$\sqrt{2}$ 。

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.3

将分子乘以分母的倒数。

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.4

组合

$\sqrt{2}$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

解题步骤 9.6.5

将分子乘以分母的倒数。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

解题步骤 9.6.6

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$\sqrt{2}$ 。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 10

代入已知值。

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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