代数示例

3 x + 3 y = 3

$3 x + 3 y = 3$ ,

x < y

$x < y$

解题步骤 1

引入松弛变量

u

$u$ 和

v

$v$ 以便使用方程替换不等式。

x + Z = y

$x + Z = y$

3 x + 3 y - 3 = 0

$3 x + 3 y - 3 = 0$

解题步骤 2

从等式两边同时减去

y

$y$ 。

x + Z - y = 0, 3 x + 3 y - 3 = 0

$x + Z - y = 0, 3 x + 3 y - 3 = 0$

解题步骤 3

在等式两边都加上

3

$3$ 。

x + Z - y = 0, 3 x + 3 y = 3

$x + Z - y = 0, 3 x + 3 y = 3$

解题步骤 4

以矩阵形式书写方程组。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 5

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 5.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 5.1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 5.1.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 3 \end{array}]$

解题步骤 5.2

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 5.2.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{3}{6} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{3}{6} \end{array}]$

解题步骤 5.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 5.3

执行行操作

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 5.3.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 5.3.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$

解题步骤 6

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

y = \frac{1}{2}

$y = \frac{1}{2}$

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