代数示例

x^{3} - 11 x + 8

$x^{3} - 11 x + 8$ ,

x - 3

$x - 3$

解题步骤 1

将较高阶的多项式除以另一个多项式以求余式。

\frac{x^{3} - 11 x + 8}{x - 3}

$\frac{x^{3} - 11 x + 8}{x - 3}$

解题步骤 2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

0

$0$ 值的项。

x

$x$

3

$3$

x^{3}

$x^{3}$

0 x^{2}

$0 x^{2}$

11 x

$11 x$

8

$8$

解题步骤 3

将被除数中的最高阶项

x^{3}

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$

解题步骤 4

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

解题步骤 5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

x^{3} - 3 x^{2}

$x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

解题步骤 6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

解题步骤 7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

解题步骤 8

将被除数中的最高阶项

3 x^{2}

$3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$

解题步骤 9

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$

解题步骤 10

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

3 x^{2} - 9 x

$3 x^{2} - 9 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$

解题步骤 11

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$
							-	$2 x$ $2 x$

解题步骤 12

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$
							-	$2 x$ $2 x$	+	$8$ $8$

解题步骤 13

将被除数中的最高阶项

- 2 x

$- 2 x$ 除以除数中的最高阶项

x

$x$ 。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$	-	$2$ $2$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$
							-	$2 x$ $2 x$	+	$8$ $8$

解题步骤 14

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$	-	$2$ $2$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$
							-	$2 x$ $2 x$	+	$8$ $8$
							-	$2 x$ $2 x$	+	$6$ $6$

解题步骤 15

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

- 2 x + 6

$- 2 x + 6$ 中的所有符号

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$	-	$2$ $2$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$
							-	$2 x$ $2 x$	+	$8$ $8$
							+	$2 x$ $2 x$	-	$6$ $6$

解题步骤 16

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$3 x$ $3 x$	-	$2$ $2$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$0 x^{2}$ $0 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$11 x$ $11 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$
							-	$2 x$ $2 x$	+	$8$ $8$
							+	$2 x$ $2 x$	-	$6$ $6$
									+	$2$ $2$

解题步骤 17

最终答案为商加上余数除以除数。

x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 3}

$x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 3}$

解题步骤 18

余数是整除

x - 3

$x - 3$ 后剩下的答案中的一部分。

2

$2$

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