代数示例

$x^{2} - 1$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(1)}^{2} - 1$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 1$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $1$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$	$1$	$0$	$- 1$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$	$1$	$0$	$- 1$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

解题步骤 6.5

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(- 1)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$0$

解题步骤 6.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(1) x + 1$

解题步骤 6.8

化简商多项式。

$x + 1$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x - 1) (x + 1)$

解题步骤 9

这些是多项式 $x^{2} - 1$ 的根（零点）。

$x = 1, - 1$

解题步骤 10

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