代数示例

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 1.2

大小为

$3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

代入

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 1.3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.4.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.6.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.7.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.2.8.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.3.1

将

$- 8$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将

$- 4$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将

$12$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将

$4$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将

$24$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将

$16$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

计算

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (- 13 - λ) ((7 - λ) (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(7 - λ) (7 - λ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 (7 - λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.1

将

$7$ 乘以

$7$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$7$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.3

将

$7$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.6

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.1.7

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.2.2

从

$- 7 λ$ 中减去

$7 λ$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.1.3

将

$- 16$ 乘以

$4$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.2

从

$49$ 中减去

$64$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.2.2.3

将

$- 14 λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

计算

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 (7 - λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.3.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 \cdot 7 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

将

$12$ 乘以

$7$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$12$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2.1.4

将

$- 24$ 乘以

$4$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.3.2.2

从

$84$ 中减去

$96$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

解题步骤 1.5.4

计算

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (12 \cdot 16 - 24 (7 - λ))$

解题步骤 1.5.4.2

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.4.2.1.1

将

$12$ 乘以

$16$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 (7 - λ))$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 \cdot 7 - 24 (- λ))$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

将

$- 24$ 乘以

$7$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 - 24 (- λ))$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$- 24$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)$

解题步骤 1.5.4.2.2

从

$192$ 中减去

$168$ 。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 + 24 λ)$

解题步骤 1.5.4.2.3

将

$24$ 和

$24 λ$ 重新排序。

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5

化简行列式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.5.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开

$(- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15)$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 13 (- 14 λ) - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.5.1.2.1

将

$- 14$ 乘以

$- 13$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.2

将

$- 13$ 乘以

$- 15$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.5.1.2.3.1

移动

$λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3.2

将

$λ^{2}$ 乘以

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.5.1.2.3.2.1

对

$λ$ 进行

$1$ 次方运算。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.3.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.5.1.2.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.6

将

$- 1$ 乘以

$- 14$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.2.7

将

$- 15$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.3

将

$- 13 λ^{2}$ 和

$14 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.4

将

$182 λ$ 和

$15 λ$ 相加。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.5

运用分配律。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ) + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.6

将

$- 12$ 乘以

$8$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.7

将

$8$ 乘以

$- 12$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ + 24)$

解题步骤 1.5.5.1.8

运用分配律。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ) - 4 \cdot 24$

解题步骤 1.5.5.1.9

将

$24$ 乘以

$- 4$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 4 \cdot 24$

解题步骤 1.5.5.1.10

将

$- 4$ 乘以

$24$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96$

解题步骤 1.5.5.2

从

$197 λ$ 中减去

$96 λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 101 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96 λ - 96$

解题步骤 1.5.5.3

从

$101 λ$ 中减去

$96 λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96$

解题步骤 1.5.5.4

从

$195$ 中减去

$96$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 99 - 96$

解题步骤 1.5.5.5

从

$99$ 中减去

$96$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 3$

解题步骤 1.5.5.6

移动

$5 λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 5 λ + 3$

解题步骤 1.5.5.7

将

$λ^{2}$ 和

$- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3 = 0$

解题步骤 1.7

求解

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1

使用有理根检验法因式分解

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

$p$ 为常数的因数，而

$q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.7.1.1.2

求

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3$

解题步骤 1.7.1.1.3

代入

$- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

$0$ ，所以

$- 1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1.3.1

将

$- 1$ 代入多项式。

$- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.2

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

$- - 1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.3

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.4

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$1 + 1 + 5 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$2 + 5 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.6

将

$5$ 乘以

$- 1$ 。

$2 - 5 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.7

从

$2$ 中减去

$5$ 。

$- 3 + 3$

解题步骤 1.7.1.1.3.8

将

$- 3$ 和

$3$ 相加。

$0$

解题步骤 1.7.1.1.4

因为

$- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

$λ + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3}{λ + 1}$

解题步骤 1.7.1.1.5

用

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ 除以

$λ + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

$0$ 值的项。

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$λ^{2}$

$5 λ$

$3$

解题步骤 1.7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项

$- λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项

$λ$ 。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$

解题步骤 1.7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$- λ^{3} - λ^{2}$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$

解题步骤 1.7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项

$2 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项

$λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					+	$2 λ^{2}$	+	$2 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$2 λ^{2} + 2 λ$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$

解题步骤 1.7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$

解题步骤 1.7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项

$3 λ$ 除以除数中的最高阶项

$λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$

解题步骤 1.7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							+	$3 λ$	+	$3$

解题步骤 1.7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$3 λ + 3$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							-	$3 λ$	-	$3$

解题步骤 1.7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$2 λ$	+	$3$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$3$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$2 λ^{2}$	-	$2 λ$
							+	$3 λ$	+	$3$
							-	$3 λ$	-	$3$
										$0$

解题步骤 1.7.1.1.5.16

因为余数为

$0$ ，所以最终答案是商。

$- λ^{2} + 2 λ + 3$

解题步骤 1.7.1.1.6

将

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ 书写为因数的集合。

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.2.1.1

对于

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

$a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 并且它们的和为

$b = 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.2.1.1.1

从

$2 λ$ 中分解出因数

$2$ 。

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 (λ) + 3) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.1.2

把

$2$ 重写为

$- 1$ 加

$3$

$(λ + 1) (- λ^{2} + (- 1 + 3) λ + 3) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(λ + 1) ((- λ^{2} - 1 λ) + 3 λ + 3) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数

$- λ - 1$ 来因式分解多项式。

$(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$λ + 1 = 0$

$- λ - 1 = 0$

$λ - 3 = 0$

解题步骤 1.7.3

将

$λ + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.3.1

将

$λ + 1$ 设为等于

$0$ 。

$λ + 1 = 0$

解题步骤 1.7.3.2

从等式两边同时减去

$1$ 。

$λ = - 1$

解题步骤 1.7.4

将

$λ - 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.4.1

将

$λ - 3$ 设为等于

$0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 1.7.5

最终解为使

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$ 成立的所有值。

$λ = - 1, 3$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} - 13 + 1 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

将

$- 13$ 和

$1$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2

将

$- 8$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.3

将

$- 4$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.4

将

$12$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.5

将

$7$ 和

$1$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.6

将

$4$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.7

将

$24$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.8

将

$16$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 7 + 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.9

将

$7$ 和

$1$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{12}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{12}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot - 8 & - \frac{1}{12} \cdot - 4 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 8 - 12 (\frac{2}{3}) & 4 - 12 (\frac{1}{3}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{2}{3}) & 8 - 24 (\frac{1}{3}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} - \frac{z}{3} \\ y \\ z \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 3$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将

$- 3$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.2.1

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.5

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.6

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.7

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.8

将

$- 3$ 乘以

$0$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.9

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} - 13 - 3 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

从

$- 13$ 中减去

$3$ 。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将

$- 8$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将

$- 4$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将

$12$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

从

$7$ 中减去

$3$ 。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

将

$4$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.7

将

$24$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.8

将

$16$ 和

$0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 7 - 3 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.9

从

$7$ 中减去

$3$ 。

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when

$λ = 3$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 & - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 4 - 12 (\frac{1}{2}) & 4 - 12 (\frac{1}{4}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{1}{2}) & 4 - 24 (\frac{1}{4}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

输入您的问题

代数 示例

代数示例