代数示例

f (x) = - x^{2} - 5 x - 5

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

解题步骤 1

将

f (x) = - x^{2} - 5 x - 5

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ 写为等式。

y = - x^{2} - 5 x - 5

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

解题步骤 2

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1

对

- x^{2} - 5 x - 5

$- x^{2} - 5 x - 5$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = - 1

$a = - 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = - 5

$c = - 5$

解题步骤 2.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 2.1.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.2.1

将

2

$2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

d = \frac{- 5}{- 2}

$d = \frac{- 5}{- 2}$

解题步骤 2.1.3.2.2

将两个负数相除得到一个正数。

d = \frac{5}{2}

$d = \frac{5}{2}$

d = \frac{5}{2}

$d = \frac{5}{2}$

d = \frac{5}{2}

$d = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.1.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 2.1.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.2.1.1

对

- 5

$- 5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.4.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

e = - 5 - \frac{25}{- 4}

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

解题步骤 2.1.4.2.1.3

将负号移到分数的前面。

e = - 5 - - \frac{25}{4}

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.1.4

乘以

- - \frac{25}{4}

$- - \frac{25}{4}$ 。

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解题步骤 2.1.4.2.1.4.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

解题步骤 2.1.4.2.1.4.2

将

\frac{25}{4}

$\frac{25}{4}$ 乘以

1

$1$ 。

e = - 5 + \frac{25}{4}

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

e = - 5 + \frac{25}{4}

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

e = - 5 + \frac{25}{4}

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.2

要将

- 5

$- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.3

组合

- 5

$- 5$ 和

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.2.5.1

将

- 5

$- 5$ 乘以

4

$4$ 。

e = \frac{- 20 + 25}{4}

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

解题步骤 2.1.4.2.5.2

将

- 20

$- 20$ 和

25

$25$ 相加。

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

e = \frac{5}{4}

$e = \frac{5}{4}$

解题步骤 2.1.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ 。

- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 2.2

将

y

$y$ 设为等于右边新的值。

y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

解题步骤 3

使用顶点式

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

a

$a$ 、

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

a = - 1

$a = - 1$

h = - \frac{5}{2}

$h = - \frac{5}{2}$

k = \frac{5}{4}

$k = \frac{5}{4}$

解题步骤 4

因为

a

$a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 5

求顶点

(h, k)

$(h, k)$ 。

(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

解题步骤 6

求

p

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 6.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 6.2

将

a

$a$ 的值代入公式中。

\frac{1}{4 \cdot - 1}

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.3

约去

1

$1$ 和

- 1

$- 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

将

1

$1$ 重写为

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ 。

\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.3.2

将负号移到分数的前面。

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

p

$p$ 加上 y 轴坐标

k

$k$ 求得抛物线的焦点。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

解题步骤 7.2

将

h

$h$ 、

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(- \frac{5}{2}, 1)

$(- \frac{5}{2}, 1)$

(- \frac{5}{2}, 1)

$(- \frac{5}{2}, 1)$

解题步骤 8

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

x = - \frac{5}{2}

$x = - \frac{5}{2}$

解题步骤 9

求准线。

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解题步骤 9.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

k

$k$ 减去

p

$p$ 求得的水平线。

y = k - p

$y = k - p$

解题步骤 9.2

将

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

y = \frac{3}{2}

$y = \frac{3}{2}$

y = \frac{3}{2}

$y = \frac{3}{2}$

解题步骤 10

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点：

(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

焦点：

(- \frac{5}{2}, 1)

$(- \frac{5}{2}, 1)$

对称轴：

x = - \frac{5}{2}

$x = - \frac{5}{2}$

准线：

y = \frac{3}{2}

$y = \frac{3}{2}$

解题步骤 11

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