代数示例

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(4, 0)

$(4, 0)$ ,

(6, 0)

$(6, 0)$

解题步骤 1

椭圆有两个一般方程。

水平椭圆方程

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

竖直椭圆方程

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 2

a

$a$ 是顶点

(6, 0)

$(6, 0)$ 和中心点

(0, 0)

$(0, 0)$ 之间的距离。

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解题步骤 2.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将点的实际值代入距离公式中。

$a = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从

$6$ 中减去

$0$ 。

$a = \sqrt{6^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

从

$0$ 中减去

$0$ 。

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

解题步骤 2.3.4

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$a = \sqrt{36 + 0}$

解题步骤 2.3.5

将

$36$ 和

$0$ 相加。

$a = \sqrt{36}$

解题步骤 2.3.6

将

$36$ 重写为

$6^{2}$ 。

$a = \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 2.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 6$

解题步骤 3

$c$ 是焦点

$(4, 0)$ 和中心点

$(0, 0)$ 之间的距离。

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解题步骤 3.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将点的实际值代入距离公式中。

$c = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

从

$4$ 中减去

$0$ 。

$c = \sqrt{4^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$c = \sqrt{16 + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从

$0$ 中减去

$0$ 。

$c = \sqrt{16 + 0^{2}}$

解题步骤 3.3.4

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$c = \sqrt{16 + 0}$

解题步骤 3.3.5

将

$16$ 和

$0$ 相加。

$c = \sqrt{16}$

解题步骤 3.3.6

将

$16$ 重写为

$4^{2}$ 。

$c = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 3.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$c = 4$

解题步骤 4

使用方程

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。代入

$6$ 替换

$a$ ，代入

$4$ 替换

$c$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$ 。

${(6)}^{2} - b^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.2

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$36 - b^{2} = 4^{2}$

解题步骤 4.3

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$36 - b^{2} = 16$

解题步骤 4.4

将所有不包含

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1

从等式两边同时减去

$36$ 。

$- b^{2} = 16 - 36$

解题步骤 4.4.2

从

$16$ 中减去

$36$ 。

$- b^{2} = - 20$

解题步骤 4.5

将

$- b^{2} = - 20$ 中的每一项除以

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.5.1

将

$- b^{2} = - 20$ 中的每一项都除以

$- 1$ 。

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 20}{- 1}$

解题步骤 4.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 20}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2

用

$b^{2}$ 除以

$1$ 。

$b^{2} = \frac{- 20}{- 1}$

解题步骤 4.5.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.3.1

用

$- 20$ 除以

$- 1$ 。

$b^{2} = 20$

解题步骤 4.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$b = \pm \sqrt{20}$

解题步骤 4.7

化简

$\pm \sqrt{20}$ 。

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解题步骤 4.7.1

将

$20$ 重写为

$2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

从

$20$ 中分解出因数

$4$ 。

$b = \pm \sqrt{4 (5)}$

解题步骤 4.7.1.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

解题步骤 4.7.2

从根式下提出各项。

$b = \pm 2 \sqrt{5}$

解题步骤 4.8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.8.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$b = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 4.8.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$b = - 2 \sqrt{5}$

解题步骤 4.8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$b = 2 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}$

解题步骤 5

$b$ 是距离，即应为一个正数。

$b = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 6

在焦点

$(4, 0)$ 和中点

$(0, 0)$ 之间的直线的斜率确定了椭圆是垂直还是水平。如果斜率为

$0$ ，那么图像为水平。如果斜率未定义，那么图像为垂直。

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解题步骤 6.1

斜率等于

$y$ 的变化与

$x$ 的变化之比，或者上升与前进之比。

$m = \frac{在 y 的变化}{在 x 的变化}$

解题步骤 6.2

$x$ 的变化等于 X 轴坐标差（也称行差），

$y$ 的变化等于 y 轴坐标差（也称矢高）。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

解题步骤 6.3

将

$x$ 和

$y$ 的值代入方程中以求斜率。

$m = \frac{0 - (0)}{0 - (4)}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.1.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$m = \frac{0 + 0}{0 - (4)}$

解题步骤 6.4.1.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$m = \frac{0}{0 - (4)}$

解题步骤 6.4.2

化简分母。

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解题步骤 6.4.2.1

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$m = \frac{0}{0 - 4}$

解题步骤 6.4.2.2

从

$0$ 中减去

$4$ 。

$m = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 6.4.3

用

$0$ 除以

$- 4$ 。

$m = 0$

解题步骤 6.5

水平椭圆的一般方程为

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 7

将

$h = 0$ 、

$k = 0$ 、

$a = 6$ 和

$b = 2 \sqrt{5}$ 的值代入

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 中以得到椭圆方程

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

解题步骤 8

化简求椭圆的最终方程。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.1.2

将

$x$ 和

$0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.2

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y - (0))}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{{(y + 0)}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.3.2

将

$y$ 和

$0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4

化简分母。

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解题步骤 8.4.1

对

$2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4.2

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {\sqrt{5}}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4.3

将

${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为

$5$ 。

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解题步骤 8.4.3.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{5}$ 重写成

$5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4.3.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

解题步骤 8.4.3.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.4.3.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

解题步骤 8.4.3.5

计算指数。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4 \cdot 5} = 1$

解题步骤 8.5

将

$4$ 乘以

$5$ 。

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

解题步骤 9

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