代数示例

(5, - 3)

$(5, - 3)$ ,

(4, - 3)

$(4, - 3)$ ,

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$

解题步骤 1

双曲线有两个一般方程。

水平双曲线方程

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

竖直双曲线方程

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 2

a

$a$ 是顶点

(4, - 3)

$(4, - 3)$ 和中心点

(5, - 3)

$(5, - 3)$ 之间的距离。

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解题步骤 2.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将点的实际值代入距离公式中。

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从

4

$4$ 中减去

5

$5$ 。

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

将

- 3

$- 3$ 和

3

$3$ 相加。

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

解题步骤 2.3.5

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

解题步骤 2.3.6

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

解题步骤 2.3.7

1

$1$ 的任意次方根都是

1

$1$ 。

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

解题步骤 3

c

$c$ 是焦点

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ 和中心点

(5, - 3)

$(5, - 3)$ 之间的距离。

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解题步骤 3.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将点的实际值代入距离公式中。

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

从

- 5

$- 5$ 中减去

5

$5$ 。

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

对

- 10

$- 10$ 进行

2

$2$ 次方运算。

c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

将

- 3

$- 3$ 和

3

$3$ 相加。

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

解题步骤 3.3.5

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

解题步骤 3.3.6

将

100

$100$ 和

0

$0$ 相加。

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

解题步骤 3.3.7

将

100

$100$ 重写为

10^{2}

$10^{2}$ 。

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

解题步骤 3.3.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

解题步骤 4

使用方程

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。代入

1

$1$ 替换

a

$a$ ，代入

10

$10$ 替换

c

$c$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ 。

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

解题步骤 4.3

对

10

$10$ 进行

2

$2$ 次方运算。

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

解题步骤 4.4

将所有不包含

b

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

解题步骤 4.4.2

从

100

$100$ 中减去

1

$1$ 。

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

解题步骤 4.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

解题步骤 4.6

化简

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ 。

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解题步骤 4.6.1

将

99

$99$ 重写为

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从

99

$99$ 中分解出因数

9

$9$ 。

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

解题步骤 4.6.1.2

将

9

$9$ 重写为

3^{2}

$3^{2}$ 。

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

解题步骤 4.6.2

从根式下提出各项。

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

解题步骤 4.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.7.1

首先，利用

\pm

$\pm$ 的正值求第一个解。

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

解题步骤 4.7.2

下一步，使用

\pm

$\pm$ 的负值来求第二个解。

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

解题步骤 4.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

解题步骤 5

b

$b$ 是距离，即应为一个正数。

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

解题步骤 6

在焦点

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ 和中点

(5, - 3)

$(5, - 3)$ 之间的直线的斜率确定了双曲线是垂直还是水平。如果斜率为

0

$0$ ，那么图像为水平。如果斜率未定义，那么图像为垂直。

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解题步骤 6.1

斜率等于

y

$y$ 的变化与

x

$x$ 的变化之比，或者上升与前进之比。

m = \frac{在 y 的变化}{在 x 的变化}

$m = \frac{在 y 的变化}{在 x 的变化}$

解题步骤 6.2

x

$x$ 的变化等于 X 轴坐标差（也称行差），

y

$y$ 的变化等于 y 轴坐标差（也称矢高）。

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

解题步骤 6.3

将

x

$x$ 和

y

$y$ 的值代入方程中以求斜率。

m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.1.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

解题步骤 6.4.1.2

将

- 3

$- 3$ 和

3

$3$ 相加。

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

解题步骤 6.4.2

化简分母。

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解题步骤 6.4.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 5

$- 5$ 。

m = \frac{0}{5 + 5}

$m = \frac{0}{5 + 5}$

解题步骤 6.4.2.2

将

5

$5$ 和

5

$5$ 相加。

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

解题步骤 6.4.3

用

0

$0$ 除以

10

$10$ 。

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

解题步骤 6.5

水平双曲线的一般方程为

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 7

将

h = 5

$h = 5$ 、

k = - 3

$k = - 3$ 、

a = 1

$a = 1$ 和

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$ 的值代入

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 中以得到双曲线方程

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

解题步骤 8

化简求双曲线的最终方程。

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解题步骤 8.1

将

$- 1$ 乘以

$5$ 。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.3

用

${(x - 5)}^{2}$ 除以

$1$ 。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4

将

$- 1$ 乘以

$- 3$ 。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.5

化简分母。

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解题步骤 8.5.1

对

$3 \sqrt{11}$ 运用乘积法则。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

解题步骤 8.5.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

解题步骤 8.5.3

将

${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为

$11$ 。

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解题步骤 8.5.3.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{11}$ 重写成

$11^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.5.3.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

解题步骤 8.5.3.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.5.3.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.3.4.1

约去公因数。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.5.3.4.2

重写表达式。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

解题步骤 8.5.3.5

计算指数。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

解题步骤 8.6

将

$9$ 乘以

$11$ 。

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

解题步骤 9

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