代数示例

(6, 7, 2)

$(6, 7, 2)$ ,

(- 8, 3, - 1)

$(- 8, 3, - 1)$ ,

(7, 0, - 1)

$(7, 0, - 1)$ ,

(0, - 4, 0)

$(0, - 4, 0)$

解题步骤 1

给定点

C = (7, 0, - 1)

$C = (7, 0, - 1)$ 和点

D = (0, - 4, 0)

$D = (0, - 4, 0)$ , 求与直线

CD

$CD$ 平行，且包含点

A = (6, 7, 2)

$A = (6, 7, 2)$ 和点

B = (- 8, 3, - 1)

$B = (- 8, 3, - 1)$ 的平面。

A = (6, 7, 2)

$A = (6, 7, 2)$

B = (- 8, 3, - 1)

$B = (- 8, 3, - 1)$

C = (7, 0, - 1)

$C = (7, 0, - 1)$

D = (0, - 4, 0)

$D = (0, - 4, 0)$

解题步骤 2

首先，计算通过点

C

$C$ 和

D

$D$ 的直线的方向向量。这可以通过取点

C

$C$ 的坐标值并从点

D

$D$ 中减去它们来实现。

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

解题步骤 3

替换

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 的值，然后化简获得直线

CD

$CD$ 的方向向量

V_{CD}

$V_{CD}$ 。

V_{CD} = ⟨ - 7, - 4, 1 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 7, - 4, 1 ⟩$

解题步骤 4

用同样的方法计算通过点

A

$A$ 和

B

$B$ 的直线的方向向量。

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

解题步骤 5

替换

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 的值，然后化简获得直线

AB

$AB$ 的方向向量

V_{AB}

$V_{AB}$ 。

V_{AB} = ⟨ - 14, - 4, - 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 4, - 3 ⟩$

解题步骤 6

所求平面将包含一条经过点

A

$A$ 和点

B

$B$ 的直线，且将具有方向向量

V_{A B}

$V_{A B}$ 。为了使这个平面与直线

C D

$C D$ 平行，需求与直线

C D

$C D$ 的方向向量正交的平面法向量。求矩阵

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 的行列式，从而求交叉乘积

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ ，进而计算该法向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k - 14 & - 4 & - 3 - 7 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 4 & - 3 \\ - 7 & - 4 & 1 \end{array}]$

解题步骤 7

计算行列式。

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解题步骤 7.1

选择包含最多

0

$0$ 元素的行或列。如果没有

0

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

1

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 7.1.1

考虑相应的符号表。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

-

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 7.1.3

a_{11}

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

1

$1$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.1.4

将元素

a_{11}

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.1.5

a_{12}

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

2

$2$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} |$

解题步骤 7.1.6

将元素

a_{12}

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j$

解题步骤 7.1.7

a_{13}

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

3

$3$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.8

将元素

a_{13}

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.1.9

最后把这些项加起来。

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.2

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

i (- 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

i (- 4 - (- 4 \cdot - 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - (- 4 \cdot - 3)) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2

乘以

- (- 4 \cdot - 3)

$- (- 4 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

i (- 4 - 1 \cdot 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 1 \cdot 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

12

$12$ 。

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.2

从

- 4

$- 4$ 中减去

12

$12$ 。

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.3

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.3.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

i \cdot - 16 - (- 14 \cdot 1 - (- 7 \cdot - 3)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 \cdot 1 - (- 7 \cdot - 3)) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将

- 14

$- 14$ 乘以

1

$1$ 。

i \cdot - 16 - (- 14 - (- 7 \cdot - 3)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - (- 7 \cdot - 3)) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.1.2

乘以

- (- 7 \cdot - 3)

$- (- 7 \cdot - 3)$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.2.1

将

- 7

$- 7$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

i \cdot - 16 - (- 14 - 1 \cdot 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 1 \cdot 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.1.2.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

21

$21$ 。

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.2

从

- 14

$- 14$ 中减去

21

$21$ 。

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

解题步骤 7.4

计算

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i \cdot - 16 - - 35 j + (- 14 \cdot - 4 - (- 7 \cdot - 4)) k$

解题步骤 7.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

将

$- 14$ 乘以

$- 4$ 。

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - (- 7 \cdot - 4)) k$

解题步骤 7.4.2.1.2

乘以

$- (- 7 \cdot - 4)$ 。

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解题步骤 7.4.2.1.2.1

将

$- 7$ 乘以

$- 4$ 。

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 1 \cdot 28) k$

解题步骤 7.4.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$28$ 。

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k$

解题步骤 7.4.2.2

从

$56$ 中减去

$28$ 。

$i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将

$- 16$ 移到

$i$ 的左侧。

$- 16 \cdot i - - 35 j + 28 k$

解题步骤 7.5.2

将

$- 1$ 乘以

$- 35$ 。

$- 16 i + 35 j + 28 k$

解题步骤 8

因为点

$A$ 在平面上，所以应求表达式

$(- 16) x + (35) y + (28) z$ 在该点处的值。该值将用于计算平面方程中的常数。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将

$- 16$ 乘以

$6$ 。

$- 96 + (35) \cdot 7 + (28) \cdot 2$

解题步骤 8.1.2

将

$35$ 乘以

$7$ 。

$- 96 + 245 + (28) \cdot 2$

解题步骤 8.1.3

将

$28$ 乘以

$2$ 。

$- 96 + 245 + 56$

解题步骤 8.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.2.1

将

$- 96$ 和

$245$ 相加。

$149 + 56$

解题步骤 8.2.2

将

$149$ 和

$56$ 相加。

$205$

解题步骤 9

添加常数，得出坐标平面方程式

$(- 16) x + (35) y + (28) z = 205$ 。

$(- 16) x + (35) y + (28) z = 205$

解题步骤 10

将

$28$ 乘以

$z$ 。

$- 16 x + 35 y + 28 z = 205$

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