代数示例

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 2, 2)

$(2, 2, 2)$ ,

(4, 7, 10)

$(4, 7, 10)$

解题步骤 1

给定点

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$ 和点

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$ , 求与直线

CD

$CD$ 平行，且包含点

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$ 和点

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$ 的平面。

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$

解题步骤 2

首先，计算通过点

C

$C$ 和

D

$D$ 的直线的方向向量。这可以通过取点

C

$C$ 的坐标值并从点

D

$D$ 中减去它们来实现。

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

解题步骤 3

替换

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 的值，然后化简获得直线

CD

$CD$ 的方向向量

V_{CD}

$V_{CD}$ 。

V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

解题步骤 4

用同样的方法计算通过点

A

$A$ 和

B

$B$ 的直线的方向向量。

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

解题步骤 5

替换

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 的值，然后化简获得直线

AB

$AB$ 的方向向量

V_{AB}

$V_{AB}$ 。

V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

解题步骤 6

所求平面将包含一条经过点

A

$A$ 和点

B

$B$ 的直线，且将具有方向向量

V_{A B}

$V_{A B}$ 。为了使这个平面与直线

C D

$C D$ 平行，需求与直线

C D

$C D$ 的方向向量正交的平面法向量。求矩阵

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 的行列式，从而求交叉乘积

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ ，进而计算该法向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 0 & 1 & 2 2 & 5 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

解题步骤 7

计算行列式。

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解题步骤 7.1

选择包含最多

0

$0$ 元素的行或列。如果没有

0

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

1

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 7.1.1

考虑相应的符号表。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

-

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 7.1.3

a_{11}

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

1

$1$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

解题步骤 7.1.4

将元素

a_{11}

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

解题步骤 7.1.5

a_{12}

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

2

$2$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

解题步骤 7.1.6

将元素

a_{12}

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

解题步骤 7.1.7

a_{13}

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

3

$3$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 7.1.8

将元素

a_{13}

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.1.9

最后把这些项加起来。

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.2

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 5 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将

8

$8$ 乘以

1

$1$ 。

i (8 - 5 \cdot 2) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

2

$2$ 。

i (8 - 10) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i (8 - 10) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.2

从

8

$8$ 中减去

10

$10$ 。

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.3

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 2 2 & 8 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.3.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将

0

$0$ 乘以

8

$8$ 。

i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.1.2

将

- 2

$- 2$ 乘以

2

$2$ 。

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.2

从

0

$0$ 中减去

4

$4$ 。

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

解题步骤 7.4

计算

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 1 2 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.4.1

可以使用公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

解题步骤 7.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

将

0

$0$ 乘以

5

$5$ 。

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

解题步骤 7.4.2.1.2

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

解题步骤 7.4.2.2

从

0

$0$ 中减去

2

$2$ 。

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将

- 2

$- 2$ 移到

i

$i$ 的左侧。

- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

解题步骤 7.5.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

解题步骤 8

因为点

A

$A$ 在平面上，所以应求表达式

(- 2) x + (4) y + (- 2) z

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ 在该点处的值。该值将用于计算平面方程中的常数。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

解题步骤 8.1.2

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

解题步骤 8.1.3

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

解题步骤 8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.1

将

- 2

$- 2$ 和

4

$4$ 相加。

2 - 2

$2 - 2$

解题步骤 8.2.2

从

2

$2$ 中减去

2

$2$ 。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

解题步骤 9

添加常数，得出坐标平面方程式

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ 。

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

解题步骤 10

将

- 2

$- 2$ 乘以

z

$z$ 。

- 2 x + 4 y - 2 z = 0

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

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