示例

(1, 2)

$(1, 2)$ ,

(4, 2)

$(4, 2)$ ,

(5, 2)

$(5, 2)$

解题步骤 1

椭圆有两个一般方程。

水平椭圆方程

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

竖直椭圆方程

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 2

a

$a$ 是顶点

(5, 2)

$(5, 2)$ 和中心点

(1, 2)

$(1, 2)$ 之间的距离。

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解题步骤 2.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将点的实际值代入距离公式中。

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从

$5$ 中减去

$1$ 。

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

解题步骤 2.3.4

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$a = \sqrt{16 + 0}$

解题步骤 2.3.5

将

$16$ 和

$0$ 相加。

$a = \sqrt{16}$

解题步骤 2.3.6

将

$16$ 重写为

$4^{2}$ 。

$a = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 2.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 4$

解题步骤 3

$c$ 是焦点

$(4, 2)$ 和中心点

$(1, 2)$ 之间的距离。

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解题步骤 3.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将点的实际值代入距离公式中。

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

从

$4$ 中减去

$1$ 。

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

解题步骤 3.3.4

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$c = \sqrt{9 + 0}$

解题步骤 3.3.5

将

$9$ 和

$0$ 相加。

$c = \sqrt{9}$

解题步骤 3.3.6

将

$9$ 重写为

$3^{2}$ 。

$c = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$c = 3$

解题步骤 4

使用方程

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。代入

$4$ 替换

$a$ ，代入

$3$ 替换

$c$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ 。

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

解题步骤 4.2

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$16 - b^{2} = 3^{2}$

解题步骤 4.3

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$16 - b^{2} = 9$

解题步骤 4.4

将所有不包含

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1

从等式两边同时减去

$16$ 。

$- b^{2} = 9 - 16$

解题步骤 4.4.2

从

$9$ 中减去

$16$ 。

$- b^{2} = - 7$

解题步骤 4.5

将

$- b^{2} = - 7$ 中的每一项除以

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.5.1

将

$- b^{2} = - 7$ 中的每一项都除以

$- 1$ 。

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.5.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2

用

$b^{2}$ 除以

$1$ 。

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 4.5.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.3.1

用

$- 7$ 除以

$- 1$ 。

$b^{2} = 7$

解题步骤 4.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$b = \pm \sqrt{7}$

解题步骤 4.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.7.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$b = \sqrt{7}$

解题步骤 4.7.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$b = - \sqrt{7}$

解题步骤 4.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

解题步骤 5

$b$ 是距离，即应为一个正数。

$b = \sqrt{7}$

解题步骤 6

在焦点

$(4, 2)$ 和中点

$(1, 2)$ 之间的直线的斜率确定了椭圆是垂直还是水平。如果斜率为

$0$ ，那么图像为水平。如果斜率未定义，那么图像为垂直。

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解题步骤 6.1

斜率等于

$y$ 的变化与

$x$ 的变化之比，或者上升与前进之比。

$m = \frac{在 y 的变化}{在 x 的变化}$

解题步骤 6.2

$x$ 的变化等于 X 轴坐标差（也称行差），

$y$ 的变化等于 y 轴坐标差（也称矢高）。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

解题步骤 6.3

将

$x$ 和

$y$ 的值代入方程中以求斜率。

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.1.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

解题步骤 6.4.1.2

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

解题步骤 6.4.2

化简分母。

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解题步骤 6.4.2.1

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$m = \frac{0}{1 - 4}$

解题步骤 6.4.2.2

从

$1$ 中减去

$4$ 。

$m = \frac{0}{- 3}$

解题步骤 6.4.3

用

$0$ 除以

$- 3$ 。

$m = 0$

解题步骤 6.5

水平椭圆的一般方程为

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 7

将

$h = 1$ 、

$k = 2$ 、

$a = 4$ 和

$b = \sqrt{7}$ 的值代入

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 中以得到椭圆方程

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ 。

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

解题步骤 8

化简求椭圆的最终方程。

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解题步骤 8.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.2

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.3

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4

将

${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为

$7$ 。

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解题步骤 8.4.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{7}$ 重写成

$7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

解题步骤 8.4.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

解题步骤 8.4.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.4.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.4.1

约去公因数。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

解题步骤 8.4.4.2

重写表达式。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

解题步骤 8.4.5

计算指数。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

解题步骤 9

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