示例

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 5, 6)

$(2, 5, 6)$ ,

(2, 9, 7)

$(2, 9, 7)$ ,

(3, 3, 3)

$(3, 3, 3)$

解题步骤 1

给定点

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$ 和点

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$ , 求与直线

CD

$CD$ 平行，且包含点

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$ 和点

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$ 的平面。

A = (1, 2, 3)

$A = (1, 2, 3)$

B = (2, 5, 6)

$B = (2, 5, 6)$

C = (2, 9, 7)

$C = (2, 9, 7)$

D = (3, 3, 3)

$D = (3, 3, 3)$

解题步骤 2

首先，计算通过点

C

$C$ 和

D

$D$ 的直线的方向向量。这可以通过取点

C

$C$ 的坐标值并从点

D

$D$ 中减去它们来实现。

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

解题步骤 3

替换

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 的值，然后化简获得直线

CD

$CD$ 的方向向量

V_{CD}

$V_{CD}$ 。

V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

解题步骤 4

用同样的方法计算通过点

A

$A$ 和

B

$B$ 的直线的方向向量。

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

解题步骤 5

替换

x

$x$ 、

y

$y$ 和

z

$z$ 的值，然后化简获得直线

AB

$AB$ 的方向向量

V_{AB}

$V_{AB}$ 。

V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

解题步骤 6

所求平面将包含一条经过点

A

$A$ 和点

B

$B$ 的直线，且将具有方向向量

V_{A B}

$V_{A B}$ 。为了使这个平面与直线

C D

$C D$ 平行，需求与直线

C D

$C D$ 的方向向量正交的平面法向量。求矩阵

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 的行列式，从而求交叉乘积

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ ，进而计算该法向量。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 1 & 3 & 3 1 & - 6 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 7

计算行列式。

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解题步骤 7.1

选择包含最多

0

$0$ 元素的行或列。如果没有

0

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

1

$1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 7.1.1

考虑相应的符号表。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 7.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

-

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 7.1.3

a_{11}

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

1

$1$ 和列

1

$1$ 的行列式。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 - 6 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.4

将元素

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 7.1.6

将元素

$a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

解题步骤 7.1.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

解题步骤 7.1.8

将元素

$a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.1.9

最后把这些项加起来。

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2

计算

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.2.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2

化简行列式。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将

$3$ 乘以

$- 4$ 。

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2

乘以

$- (- 6 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

将

$- 6$ 乘以

$3$ 。

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 18$ 。

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.2.2.2

将

$- 12$ 和

$18$ 相加。

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2

化简行列式。

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解题步骤 7.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.3.2.2

从

$- 4$ 中减去

$3$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

解题步骤 7.4

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ 。

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解题步骤 7.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

解题步骤 7.4.2

化简行列式。

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解题步骤 7.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.2.1.1

将

$- 6$ 乘以

$1$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

解题步骤 7.4.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

解题步骤 7.4.2.2

从

$- 6$ 中减去

$3$ 。

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

解题步骤 7.5

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1

将

$6$ 移到

$i$ 的左侧。

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

解题步骤 7.5.2

将

$- 1$ 乘以

$- 7$ 。

$6 i + 7 j - 9 k$

解题步骤 8

因为点

$A$ 在平面上，所以应求表达式

$(6) x + (7) y + (- 9) z$ 在该点处的值。该值将用于计算平面方程中的常数。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

解题步骤 8.1.2

将

$7$ 乘以

$2$ 。

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

解题步骤 8.1.3

将

$- 9$ 乘以

$3$ 。

$6 + 14 - 27$

解题步骤 8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.1

将

$6$ 和

$14$ 相加。

$20 - 27$

解题步骤 8.2.2

从

$20$ 中减去

$27$ 。

$- 7$

解题步骤 9

添加常数，得出坐标平面方程式

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ 。

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

解题步骤 10

将

$- 9$ 乘以

$z$ 。

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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