示例
x-y=4x−y=4 , 4x-y=-54x−y=−5
解题步骤 1
要求经过点 (p,q,r)(p,q,r) 且垂直于平面 P1P1 ax+by+cz=dax+by+cz=d 和平面 P2P2 ex+fy+gz=hex+fy+gz=h 直线的交点：
1. 求平面 P1P1 和平面 P2P2 的法向量 n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩ 和 n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩。检验其点积是否为 0。
2. 创建一个参数方程组，比如 x=p+atx=p+at、y=q+bty=q+bt 和 z=r+ctz=r+ct。
3. 将这些等式代入平面方程 P2P2，使得 e(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=he(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=h 并求解 tt。
4. 使用 tt 的值，求解参数方程 x=p+atx=p+at、y=q+bty=q+bt 和 z=r+ctz=r+ct，以求 tt 的交集 (x,y,z)(x,y,z)。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
P1P1 为 x-y=4x−y=4。求平面方程 ax+by+cz=dax+by+cz=d 的法向量 n1=⟨a,b,c⟩n1=⟨a,b,c⟩。
n1=⟨1,-1,0⟩n1=⟨1,−1,0⟩
解题步骤 2.2
P2P2 为 4x-y=-54x−y=−5。求平面方程 ex+fy+gz=hex+fy+gz=h 的法向量 n2=⟨e,f,g⟩n2=⟨e,f,g⟩。
n2=⟨4,-1,0⟩n2=⟨4,−1,0⟩
解题步骤 2.3
将法向量中相对应的 xx、yy 和 zz 数值乘积相加，计算 n1n1 和 n2n2 的点积。
1⋅4-1⋅-1+0⋅01⋅4−1⋅−1+0⋅0
解题步骤 2.4
化简点积。
解题步骤 2.4.1
去掉圆括号。
1⋅4-1⋅-1+0⋅01⋅4−1⋅−1+0⋅0
解题步骤 2.4.2
化简每一项。
解题步骤 2.4.2.1
将 44 乘以 11。
4-1⋅-1+0⋅04−1⋅−1+0⋅0
解题步骤 2.4.2.2
将 -1−1 乘以 -1−1。
4+1+0⋅04+1+0⋅0
解题步骤 2.4.2.3
将 00 乘以 00。
4+1+04+1+0
4+1+04+1+0
解题步骤 2.4.3
通过加上各数进行化简。
解题步骤 2.4.3.1
将 44 和 11 相加。
5+05+0
解题步骤 2.4.3.2
将 55 和 00 相加。
55
55
55
55
解题步骤 3
下一步，使用点 (p,q,r)(p,q,r) 的原点 (0,0,0)(0,0,0) 和标准向量 55 的 aa、bb 和 cc 的值，建立一组参数方程 x=p+atx=p+at、y=q+bty=q+bt 和 z=r+ctz=r+ct。这组参数方程表示经过原点并与 P1P1 x-y=4x−y=4 垂直的直线。
x=0+1⋅tx=0+1⋅t
y=0+-1⋅ty=0+−1⋅t
z=0+0⋅tz=0+0⋅t
解题步骤 4
将表达式 xx、yy 和 zz 代入 P2P2 4x-y=-54x−y=−5 的方程。
4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)=-54(0+1⋅t)−(0−1⋅t)=−5
解题步骤 5
解题步骤 5.1
化简 4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)4(0+1⋅t)−(0−1⋅t)。
解题步骤 5.1.1
合并 4(0+1⋅t)-(0-1⋅t)4(0+1⋅t)−(0−1⋅t) 中相反的项。
解题步骤 5.1.1.1
将 00 和 1⋅t1⋅t 相加。
4(1⋅t)-(0-1⋅t)=-54(1⋅t)−(0−1⋅t)=−5
解题步骤 5.1.1.2
从 00 中减去 1⋅t1⋅t。
4(1⋅t)-(-1⋅t)=-54(1⋅t)−(−1⋅t)=−5
4(1⋅t)-(-1⋅t)=-54(1⋅t)−(−1⋅t)=−5
解题步骤 5.1.2
化简每一项。
解题步骤 5.1.2.1
将 tt 乘以 11。
4t-(-1⋅t)=-54t−(−1⋅t)=−5
解题步骤 5.1.2.2
将 -1t−1t 重写为 -t−t。
4t--t=-54t−−t=−5
解题步骤 5.1.2.3
乘以 --t−−t。
解题步骤 5.1.2.3.1
将 -1−1 乘以 -1−1。
4t+1t=-54t+1t=−5
解题步骤 5.1.2.3.2
将 tt 乘以 11。
4t+t=-54t+t=−5
4t+t=-54t+t=−5
4t+t=-54t+t=−5
解题步骤 5.1.3
将 4t4t 和 tt 相加。
5t=-55t=−5
5t=-55t=−5
解题步骤 5.2
将 5t=-55t=−5 中的每一项除以 55 并化简。
解题步骤 5.2.1
将 5t=-55t=−5 中的每一项都除以 55。
5t5=-555t5=−55
解题步骤 5.2.2
化简左边。
解题步骤 5.2.2.1
约去 55 的公因数。
解题步骤 5.2.2.1.1
约去公因数。
5t5=-55
解题步骤 5.2.2.1.2
用 t 除以 1。
t=-55
t=-55
t=-55
解题步骤 5.2.3
化简右边。
解题步骤 5.2.3.1
用 -5 除以 5。
t=-1
t=-1
t=-1
t=-1
解题步骤 6
解题步骤 6.1
求解 x 的方程。
解题步骤 6.1.1
去掉圆括号。
x=0+1⋅(-1)
解题步骤 6.1.2
化简 0+1⋅(-1)。
解题步骤 6.1.2.1
将 -1 乘以 1。
x=0-1
解题步骤 6.1.2.2
从 0 中减去 1。
x=-1
x=-1
x=-1
解题步骤 6.2
求解 y 的方程。
解题步骤 6.2.1
去掉圆括号。
y=0-1⋅-1
解题步骤 6.2.2
化简 0-1⋅-1。
解题步骤 6.2.2.1
将 -1 乘以 -1。
y=0+1
解题步骤 6.2.2.2
将 0 和 1 相加。
y=1
y=1
y=1
解题步骤 6.3
求解 z 的方程。
解题步骤 6.3.1
去掉圆括号。
z=0+0⋅(-1)
解题步骤 6.3.2
化简 0+0⋅(-1)。
解题步骤 6.3.2.1
将 0 乘以 -1。
z=0+0
解题步骤 6.3.2.2
将 0 和 0 相加。
z=0
z=0
z=0
解题步骤 6.4
所求得的 x、y 和 z 的参数方程。
x=-1
y=1
z=0
x=-1
y=1
z=0
解题步骤 7
使用对 x、y 和 z 计算所得的值，求得的交点为 (-1,1,0)。
(-1,1,0)
