Algebra Examples

\frac{\cos (- x)}{\tan (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos (- x)}{\tan (- x)} + \sin (- x)$

Step 1

Simplify each term.

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Step 1.1

Rewrite

\tan (- x)

$\tan (- x)$ in terms of sines and cosines.

\frac{\cos (- x)}{\frac{\sin (- x)}{\cos (- x)}} + \sin (- x)

$\frac{\cos (- x)}{\frac{\sin (- x)}{\cos (- x)}} + \sin (- x)$

Step 1.2

Multiply by the reciprocal of the fraction to divide by

\frac{\sin (- x)}{\cos (- x)}

$\frac{\sin (- x)}{\cos (- x)}$ .

\cos (- x) \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\cos (- x) \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.3

Write

\cos (- x)

$\cos (- x)$ as a fraction with denominator

1

$1$ .

\frac{\cos (- x)}{1} \cdot \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos (- x)}{1} \cdot \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.4

Simplify.

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Step 1.4.1

Divide

\cos (- x)

$\cos (- x)$ by

1

$1$ .

\cos (- x) \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\cos (- x) \frac{\cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.4.2

Combine

\cos (- x)

$\cos (- x)$ and

\frac{\cos (- x)}{\sin (- x)}

$\frac{\cos (- x)}{\sin (- x)}$ .

\frac{\cos (- x) \cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos (- x) \cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

\frac{\cos (- x) \cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos (- x) \cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.5

Simplify the numerator.

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Step 1.5.1

Raise

\cos (- x)

$\cos (- x)$ to the power of

1

$1$ .

\frac{\cos^{1} (- x) \cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos^{1} (- x) \cos (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.5.2

Raise

\cos (- x)

$\cos (- x)$ to the power of

1

$1$ .

\frac{\cos^{1} (- x) \cos^{1} (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos^{1} (- x) \cos^{1} (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.5.3

Use the power rule

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

\frac{{\cos (- x)}^{1 + 1}}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{{\cos (- x)}^{1 + 1}}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.5.4

Add

1

$1$ and

1

$1$ .

\frac{\cos^{2} (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos^{2} (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

\frac{\cos^{2} (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos^{2} (- x)}{\sin (- x)} + \sin (- x)$

Step 1.6

Since

\sin (- x)

$\sin (- x)$ is an odd function, rewrite

\sin (- x)

$\sin (- x)$ as

- \sin (x)

$- \sin (x)$ .

\frac{\cos^{2} (- x)}{- \sin (x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos^{2} (- x)}{- \sin (x)} + \sin (- x)$

Step 1.7

Since

\cos (- x)

$\cos (- x)$ is an even function, rewrite

\cos (- x)

$\cos (- x)$ as

\cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{\cos^{2} (x)}{- \sin (x)} + \sin (- x)

$\frac{\cos^{2} (x)}{- \sin (x)} + \sin (- x)$

Step 1.8

Move the negative in front of the fraction.

- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (- x)$

Step 1.9

Since

\sin (- x)

$\sin (- x)$ is an odd function, rewrite

\sin (- x)

$\sin (- x)$ as

- \sin (x)

$- \sin (x)$ .

- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Step 2

Simplify each term.

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Step 2.1

Factor

\cos (x)

$\cos (x)$ out of

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ .

- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

Step 2.2

Separate fractions.

- (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \sin (x)

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \sin (x)$

Step 2.3

Convert from

\frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ to

\cot (x)

$\cot (x)$ .

- (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) - \sin (x)

$- (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) - \sin (x)$

Step 2.4

Divide

\cos (x)

$\cos (x)$ by

1

$1$ .

- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)

$- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)$

- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)

$- \cos (x) \cot (x) - \sin (x)$