Trigonometri Contoh

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Langkah 1

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ sebagai $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.2

Perluas $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.1.2

Naikkan $\sin (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.1.3

Naikkan $\sin (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.4.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.4.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.1.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $25 \cos (t) \sin (t)$ dan $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.4.2

Faktorkan $25$ dari $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.4.3

Faktorkan $25$ dari $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.4.4

Faktorkan $25$ dari $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.5

Terapkan identitas pythagoras.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 2.6

Kalikan $25$ dengan $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Langkah 3

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Langkah 4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $t$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Langkah 4.2

Kurangi $25$ dengan $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Langkah 6

Atur $\cos (t)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (t)$ sama dengan $0$ .

$\cos (t) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (t) = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam kosinus.

$t = \arccos (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.2.5

Tentukan periode dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.6

Periode dari fungsi $\cos (t)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Atur $\sin (t)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\sin (t)$ sama dengan $0$ .

$\sin (t) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\sin (t) = 0$ untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$t = 0$

Langkah 7.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$t = π - 0$

Langkah 7.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$t = π$

Langkah 7.2.5

Tentukan periode dari $\sin (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 7.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 7.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 7.2.6

Periode dari fungsi $\sin (t)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ benar.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Gabungkan jawabannya.

$t = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Periksa setiap penyelesaian dengan mensubstitusikannya ke dalam $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ dan menyelesaikannya.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$