Trigonometri Contoh

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ , $[0, 2 π)$

Langkah 1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $4 \sin^{2} (x) = 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $4 \sin^{2} (x) = 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $\sin^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Langkah 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 4.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 7

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 7.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{3}$

Langkah 7.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Langkah 7.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 7.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 7.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 7.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Langkah 8.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Langkah 8.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Langkah 8.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{4 π}{3}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 8.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 8.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 8.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{3}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Langkah 8.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 8.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 8.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 8.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.4.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Langkah 8.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Langkah 8.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 8.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{π}{3} + 2 π n$ dan $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ menjadi $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ dan $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ menjadi $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 11

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{3} + π (0)$

Langkah 11.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Langkah 11.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{3}$ dan $0$ .

$\frac{π}{3}$

Langkah 11.1.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 11.2

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $\frac{2 π}{3}$ dan $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 11.2.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Langkah 11.3

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{π}{3} + π (1)$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

Langkah 11.3.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 11.3.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Langkah 11.3.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

Langkah 11.3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.4.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

Langkah 11.3.2.4.2

Tambahkan $π$ dan $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Langkah 11.3.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Langkah 11.4

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

Langkah 11.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

Langkah 11.4.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 11.4.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Langkah 11.4.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

Langkah 11.4.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.2.4.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

Langkah 11.4.2.4.2

Tambahkan $2 π$ dan $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Langkah 11.4.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$