Trigonometri Contoh

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Langkah 1

Ganti $2 \cos^{2} (x)$ dengan $2 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Langkah 3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Langkah 4

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

Langkah 5

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2} - u + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Langkah 5.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

Langkah 5.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

Langkah 5.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2}) - u$ .

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Langkah 5.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Langkah 5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Langkah 5.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Langkah 5.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Langkah 5.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Langkah 5.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 7

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 8

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 8.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 10

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Langkah 11

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Langkah 12

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 12.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 12.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 12.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 12.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 12.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.3.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 12.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 12.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 12.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 12.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 12.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 12.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 13.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 13.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 13.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 13.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 13.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 13.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 13.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 13.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 13.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 13.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Langkah 16.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $2 π (0)$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Langkah 16.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Langkah 16.1.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Langkah 16.1.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Langkah 16.1.2.1.1.2.4

Bagilah $2 π \cdot (0)$ dengan $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Langkah 16.1.2.1.2

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Langkah 16.1.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Langkah 16.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{6}$ dan $0$ .

$\frac{π}{6}$

Langkah 16.1.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 16.2

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Langkah 16.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Langkah 16.2.2.2

Untuk menuliskan $\frac{2 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 16.2.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.3.1

Kalikan $\frac{2 π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Langkah 16.2.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Langkah 16.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Langkah 16.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Langkah 16.2.2.5.2

Tambahkan $π$ dan $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Langkah 16.2.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Langkah 16.3

Masukkan $2$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Masukkan $2$ untuk $n$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Langkah 16.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Langkah 16.3.2.2

Untuk menuliskan $\frac{4 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 16.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.3.1

Kalikan $\frac{4 π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Langkah 16.3.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Langkah 16.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Langkah 16.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Langkah 16.3.2.5.2

Tambahkan $π$ dan $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Langkah 16.3.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Langkah 16.3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Langkah 16.3.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Langkah 16.3.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 16.3.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$