Trigonometri Contoh

$\sin (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

Langkah 1

Sederhanakan pertidaksamaan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ > \arcsin (0)$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$θ > 0$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ = π - 0$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$θ = π$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.5

Tentukan periode dari $\sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.6

Periode dari fungsi $\sin (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.7

Gabungkan jawabannya.

$θ = π n$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Uji nilai pada interval $0 < θ < π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < θ < π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$θ = 2$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9.1.2

Ganti $θ$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (2) > 0$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9.1.3

Sisi kiri $0.90929742$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9.2

Uji nilai pada interval $π < θ < 2 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.2.1

Pilih nilai pada interval $π < θ < 2 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$θ = 5$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9.2.2

Ganti $θ$ dengan $5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (5) > 0$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9.2.3

Sisi kiri $- 0.95892427$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.9.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < θ < π$ Benar

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

$0 < θ < π$ Benar

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

Langkah 1.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $\cos (θ) < 0$

Langkah 2

Sederhanakan pertidaksamaan kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ < \arccos (0)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ < \frac{π}{2}$

Langkah 2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = \frac{3 π}{2}$

Langkah 2.5

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.6

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Langkah 2.7

Gabungkan jawabannya.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = \frac{π}{2} + π n$

Langkah 2.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Langkah 2.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = 3$

Langkah 2.9.1.2

Ganti $θ$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $\cos (3) < 0$

Langkah 2.9.1.3

Sisi kiri $- 0.98999249$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and True

Langkah 2.9.2

Uji nilai pada interval $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $θ = 6$

Langkah 2.9.2.2

Ganti $θ$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $\cos (6) < 0$

Langkah 2.9.2.3

Sisi kiri $0.96017028$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and False

Langkah 2.9.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Salah

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Salah

Langkah 2.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ dan $\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Langkah 3