Trigonometri Contoh

$4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari $4 x^{2} + 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Langkah 1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Langkah 1.1.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.1.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{8}{4}$

Langkah 1.1.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Langkah 1.1.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{2}{1}$

Langkah 1.1.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$d = 2$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Langkah 1.1.4.2.1.3

Bagilah $256$ dengan $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Langkah 1.1.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$e = 0 - 16$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$e = - 16$

Langkah 1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16$

Langkah 1.2

Substitusikan $4 {(x + 2)}^{2} - 16$ untuk $4 x^{2} + 16 x$ dalam persamaan $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$ .

$4 {(x + 2)}^{2} - 16 + 25 y^{2} - 50 y = 59$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 16$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $16$ ke kedua sisinya.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 y^{2} - 50 y = 59 + 16$

Langkah 1.4

Selesaikan kuadrat dari $25 y^{2} - 50 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 25$

$b = - 50$

$c = 0$

Langkah 1.4.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.4.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 50}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 50$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 50$ .

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 (25)}$

Langkah 1.4.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.4.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 25}{25}$

Langkah 1.4.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 25$ dan $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $- 25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25}$

Langkah 1.4.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25 (1)}$

Langkah 1.4.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{25 \cdot 1}$

Langkah 1.4.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.4.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.4.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 50)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Langkah 1.4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1.1

Naikkan $- 50$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{2500}{4 \cdot 25}$

Langkah 1.4.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $25$ .

$e = 0 - \frac{2500}{100}$

Langkah 1.4.4.2.1.3

Bagilah $2500$ dengan $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Langkah 1.4.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$e = 0 - 25$

Langkah 1.4.4.2.2

Kurangi $25$ dengan $0$ .

$e = - 25$

Langkah 1.4.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $25 {(y - 1)}^{2} - 25$ .

$25 {(y - 1)}^{2} - 25$

Langkah 1.5

Substitusikan $25 {(y - 1)}^{2} - 25$ untuk $25 y^{2} - 50 y$ dalam persamaan $4 x^{2} + 25 y^{2} + 16 x - 50 y = 59$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} - 25 = 59 + 16$

Langkah 1.6

Pindahkan $- 25$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $25$ ke kedua sisinya.

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 59 + 16 + 25$

Langkah 1.7

Sederhanakan $59 + 16 + 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tambahkan $59$ dan $16$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 75 + 25$

Langkah 1.7.2

Tambahkan $75$ dan $25$ .

$4 {(x + 2)}^{2} + 25 {(y - 1)}^{2} = 100$

Langkah 1.8

Bagi setiap suku dengan $100$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{25 {(y - 1)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Langkah 1.9

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = - 2$

Langkah 4

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Langkah 4.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Langkah 4.3.4

Kurangi $4$ dengan $25$ .

$\sqrt{21}$

Langkah 5

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

Langkah 5.3

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 5.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 2 - (\sqrt{21}), 1)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

Langkah 5.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 2 + \sqrt{21}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 - \sqrt{21}, 1)$

Langkah 6