Trigonometri Contoh

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (x - 0.5)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x - 0.5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 0.5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.5

Karena $- 0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 0.5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.2.7

Kalikan $\cos (x - 0.5)$ dengan $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $- 4 \cos (x - 0.5)$ dan $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \cos (x - 0.5)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x - 0.5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 0.5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Langkah 2.3.4

Karena $- 0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 0.5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\cos (x - 0.5)$ dengan $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $0.5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Langkah 7.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Langkah 8

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $0.5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $\frac{3 π}{2}$ dan $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2.07079632$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Langkah 12

Kurangi $0.5$ dengan $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Langkah 13

$x = 2.07079632$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2.07079632$ adalah minimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = 2.07079632$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.07079632$ pada pernyataan tersebut.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kurangi $0.5$ dengan $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Langkah 14.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = 5.21238898$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Langkah 16

Kurangi $0.5$ dengan $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Langkah 17

$x = 5.21238898$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 5.21238898$ adalah maksimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = 5.21238898$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $5.21238898$ pada pernyataan tersebut.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kurangi $0.5$ dengan $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Langkah 18.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ adalah minimum lokal

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ adalah maksimum lokal

Langkah 20