Trigonometri Contoh

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

Langkah 1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 2.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1$ ditambah $2$

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 \cos (θ) - 1$ .

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

Langkah 4

Atur $2 \cos (θ) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $2 \cos (θ) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $2 \cos (θ) - 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (θ) = 1$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (θ) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (θ) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $60$ .

$θ = 60$

Langkah 4.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $360$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$θ = 360 - 60$

Langkah 4.2.6

Kurangi $60$ dengan $360$ .

$θ = 300$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{360}{1}$

Langkah 4.2.7.4

Bagilah $360$ dengan $1$ .

$360$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $360$ sehingga nilai akan berulang setiap $360$ derajat di kedua arah.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Atur $\cos (θ) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (θ) + 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (θ) + 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (θ) + 1 = 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (θ) = - 1$

Langkah 5.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$θ = \arccos (- 1)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $180$ .

$θ = 180$

Langkah 5.2.4

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $360$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$θ = 360 - 180$

Langkah 5.2.5

Kurangi $180$ dengan $360$ .

$θ = 180$

Langkah 5.2.6

Tentukan periode dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Langkah 5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{360}{1}$

Langkah 5.2.6.4

Bagilah $360$ dengan $1$ .

$360$

Langkah 5.2.7

Periode dari fungsi $\cos (θ)$ adalah $360$ sehingga nilai akan berulang setiap $360$ derajat di kedua arah.

$θ = 180 + 360 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ benar.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Gabungkan jawabannya.

$θ = 60 + 120 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $[0, 360]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 360]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$60 + 120 (0)$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Kalikan $120$ dengan $0$ .

$60 + 0$

Langkah 8.1.2.2

Tambahkan $60$ dan $0$ .

$60$

Langkah 8.1.3

Interval $[0, 360]$ memuat $60$ .

$θ = 60$

Langkah 8.2

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 360]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$60 + 120 (1)$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $120$ dengan $1$ .

$60 + 120$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $60$ dan $120$ .

$180$

Langkah 8.2.3

Interval $[0, 360]$ memuat $180$ .

$θ = 60, 180$

Langkah 8.3

Masukkan $2$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 360]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Masukkan $2$ untuk $n$ .

$60 + 120 (2)$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $120$ dengan $2$ .

$60 + 240$

Langkah 8.3.2.2

Tambahkan $60$ dan $240$ .

$300$

Langkah 8.3.3

Interval $[0, 360]$ memuat $300$ .

$θ = 60, 180, 300$