Trigonometri Contoh

$x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y + 136 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $136$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} + 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{8}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$d = 8$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $256$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$e = 0 - 64$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $64$ dengan $0$ .

$e = - 64$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x + 8)}^{2} - 64$ .

${(x + 8)}^{2} - 64$

Langkah 1.3

Substitusikan ${(x + 8)}^{2} - 64$ untuk $x^{2} + 16 x$ dalam persamaan $x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$ .

${(x + 8)}^{2} - 64 + 9 y^{2} - 54 y = - 136$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 64$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $64$ ke kedua sisinya.

${(x + 8)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 136 + 64$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $9 y^{2} - 54 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 54$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 27}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 27$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 3}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$d = - 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 54$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $2916$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $81$ .

$e = 0 - 81$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $81$ dengan $0$ .

$e = - 81$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Langkah 1.6

Substitusikan $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ untuk $9 y^{2} - 54 y$ dalam persamaan $x^{2} + 9 y^{2} + 16 x - 54 y = - 136$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 136 + 64$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 81$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $81$ ke kedua sisinya.

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 136 + 64 + 81$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 136 + 64 + 81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $- 136$ dan $64$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 72 + 81$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $- 72$ dan $81$ .

${(x + 8)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 9$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $9$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{{(x + 8)}^{2}}{9} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 8)}^{2}}{9} + {(y - 3)}^{2} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 3$

$b = 1$

$k = 3$

$h = - 8$

Langkah 4

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 8 + 3, 3)$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$(- 5, 3)$

Langkah 4.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 4.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 8 - (3), 3)$

Langkah 4.6

Sederhanakan.

$(- 11, 3)$

Langkah 4.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(- 5, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 11, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 5, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 11, 3)$

Langkah 5