Trigonometri Contoh

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

Langkah 1

Kurangkan $\sqrt{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Langkah 2

Faktorkan $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Susun kembali suku-suku.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Langkah 4

Atur $2 \cos (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $2 \cos (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $2 \cos (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Atur $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $\sqrt{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 5.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 5.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Langkah 5.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ benar.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

Langkah 7.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{π}{4} + 0 π$

Langkah 7.1.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Langkah 7.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 7.1.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 7.2

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Langkah 7.2.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $\frac{2 π}{3}$ dan $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 7.2.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

Langkah 7.3

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

Langkah 7.3.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{4 π}{3} + 0$

Langkah 7.3.2.2

Tambahkan $\frac{4 π}{3}$ dan $0$ .

$\frac{4 π}{3}$

Langkah 7.3.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Langkah 7.4

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

Langkah 7.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Kalikan $2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

Langkah 7.4.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $π$ .

$\frac{7 π}{4} + 0$

Langkah 7.4.2.2

Tambahkan $\frac{7 π}{4}$ dan $0$ .

$\frac{7 π}{4}$

Langkah 7.4.3

Interval $[0, 2 π)$ memuat $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$