Trigonometri Contoh

$f (x) = - 3 \sin (x - π) + 2$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 \sin (x - π) + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x - π)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \sin (x - π)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - π$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - π$ .

$- 3 (\cos (x - π) \frac{d}{d x} [x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 3 (\cos (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (\cos (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.5

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 (\cos (x - π) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 3 (\cos (x - π) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.2.7

Kalikan $\cos (x - π)$ dengan $1$ .

$- 3 \cos (x - π) + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 \cos (x - π) + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $- 3 \cos (x - π)$ dan $0$ .

$- 3 \cos (x - π)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \cos (x - π)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \cos (x - π)$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - π$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - π$ .

$f'' (x) = - 3 (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 2.3.4

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) (1 + 0)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) \cdot 1$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 3 \cos (x - π) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 3 \cos (x - π) = 0$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 3 \cos (x - π) = 0$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (x - π)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 \cos (x - π)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\cos (x - π)$ dengan $1$ .

$\cos (x - π) = \frac{0}{- 3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 3$ .

$\cos (x - π) = 0$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x - π = \arccos (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x - π = \frac{π}{2}$

Langkah 7

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{π}{2} + π$

Langkah 7.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Langkah 7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $π$ dan $2 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x - π = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x - π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x - π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x - π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x - π = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x - π = \frac{3 π}{2}$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{3 π}{2} + π$

Langkah 9.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 9.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Langkah 9.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{3 π + π \cdot 2}{2}$

Langkah 9.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{2}$

Langkah 9.2.5.2

Tambahkan $3 π$ dan $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x - π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$3 \sin ((\frac{3 π}{2}) - π)$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 12.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gabungkan $- π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Langkah 12.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Langkah 12.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Langkah 12.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $3 π$ .

$3 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 12.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 13

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin ((\frac{3 π}{2}) - π) + 2$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Langkah 14.2.1.2

Gabungkan $- π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Langkah 14.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Langkah 14.2.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 2$

Langkah 14.2.1.4.2

Kurangi $2 π$ dengan $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Langkah 14.2.1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 1 + 2$

Langkah 14.2.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 + 2$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Langkah 14.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$3 \sin ((\frac{5 π}{2}) - π)$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 16.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Gabungkan $- π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Langkah 16.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Langkah 16.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Langkah 16.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $5 π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 16.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.6

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 \cdot - 1$

Langkah 16.6.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3$

Langkah 17

$x = \frac{5 π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin ((\frac{5 π}{2}) - π) + 2$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.1

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Langkah 18.2.1.2

Gabungkan $- π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Langkah 18.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Langkah 18.2.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 2$

Langkah 18.2.1.4.2

Kurangi $2 π$ dengan $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Langkah 18.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Langkah 18.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 (- 1 \cdot 1) + 2$

Langkah 18.2.1.7

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cdot - 1 + 2$

Langkah 18.2.1.7.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 + 2$

Langkah 18.2.2

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5$

Langkah 18.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$y = 5$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 3 \sin (x - π) + 2$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ adalah minimum lokal

$(\frac{5 π}{2}, 5)$ adalah maksimum lokal

Langkah 20