Trigonometri Contoh

$f (t) = - 3 \cos (t)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3 \cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- 3 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$- 3 (- \sin (t))$

Langkah 1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$3 \sin (t)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 \sin (t)$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = 3 \frac{d}{d t} (\sin (t))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$f'' (t) = 3 \cos (t)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$3 \sin (t) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $3 \sin (t) = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $3 \sin (t) = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 \sin (t)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sin (t)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\sin (t)$ dengan $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{3}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$\sin (t) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$t = 0$

Langkah 7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$t = π - 0$

Langkah 8

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$t = π$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $t = 0$ .

$t = 0, π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $t = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$3 \cos (0)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 11.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 12

$t = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$t = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $t$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - 3 \cos (0)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = - 3 \cdot 1$

Langkah 13.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f (0) = - 3$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$y = - 3$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $t = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$3 \cos (π)$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$3 (- \cos (0))$

Langkah 15.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.3

Kalikan $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 \cdot - 1$

Langkah 15.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3$

Langkah 16

$t = π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$t = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $t = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $t$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = - 3 \cos (π)$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = - 3 (- \cos (0))$

Langkah 17.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = - 3 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.3

Kalikan $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = - 3 \cdot - 1$

Langkah 17.2.3.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f (π) = 3$

Langkah 17.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (t) = - 3 \cos (t)$ .

$(0, - 3)$ adalah minimum lokal

$(π, 3)$ adalah maksimum lokal

Langkah 19