Trigonometri Contoh

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (x)$ .

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 u$ .

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1$ ditambah $3$

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Langkah 3

Atur $3 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $3 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $3 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 \cos (x) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 \cos (x) = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 \cos (x) = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Evaluasi $\arccos (\frac{1}{3})$ .

$x = 1.23095941$

Langkah 3.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Langkah 3.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Langkah 3.2.6.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Langkah 3.2.6.2.2

Kurangi $1.23095941$ dengan $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Langkah 3.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\cos (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\cos (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\cos (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x = π$

Langkah 4.2.4

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 4.2.5

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 4.2.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ benar.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$