Trigonometri Contoh

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

Langkah 1

Aturan sinus didasarkan pada perbandingan sisi-sisi dan sudut-sudut pada segitiga. Aturan tersebut menyatakan bahwa untuk sudut-sudut segitiga bukan siku-siku, setiap sudut segitiga memiliki rasio ukuran sudut yang sama dengan nilai sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Langkah 2

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam aturan sinus untuk menemukan $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

Langkah 3

Selesaikan persamaan untuk $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $26$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Langkah 3.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $26 \frac{\sin (105)}{53}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (105)$ adalah $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Bagi $75$ menjadi dua sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya diketahui.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Terapkan identitas penjumlahan sudut-sudut.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.4

Nilai eksak dari $\sin (30)$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.5

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.6

Nilai eksak dari $\cos (30)$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.7

Nilai eksak dari $\sin (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.1

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.2

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.1.8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ dengan $\frac{1}{53}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Kalikan $4$ dengan $53$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Langkah 3.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $26$ .

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Langkah 3.2.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $212$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Langkah 3.2.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Langkah 3.2.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

Langkah 3.2.2.1.5

Gabungkan $13$ dan $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ .

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

Langkah 3.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $C$ dari dalam sinus.

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ .

$C = 28.28452639$

Langkah 3.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $180$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$C = 180 - 28.28452639$

Langkah 3.6

Kurangi $28.28452639$ dengan $180$ .

$C = 151.7154736$

Langkah 3.7

Penyelesaian untuk persamaan $C = 28.28452639$ .

$C = 28.28452639, 151.7154736$

Langkah 3.8

Kecualikan sudut yang tidak valid.

$C = 28.28452639$

Langkah 4

Jumlah dari semua sudut dalam sebuah segitiga adalah $180$ derajat.

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $A$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $28.28452639$ dan $105$ .

$A + 133.28452639 = 180$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $A$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $133.28452639$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 180 - 133.28452639$

Langkah 5.2.2

Kurangi $133.28452639$ dengan $180$ .

$A = 46.7154736$

Langkah 6

Gunakan aturan kosinus untuk menentukan sisi segitiga yang tidak diketahui menggunakan dua sisi yang lain dan sudut yang disertakan.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Langkah 7

Selesaikan persamaan.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaannya.

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

Langkah 9

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Naikkan $53$ menjadi pangkat $2$ .

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Langkah 9.2

Naikkan $26$ menjadi pangkat $2$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Langkah 9.3

Kalikan $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $53$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $- 106$ dengan $26$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Langkah 9.4

Tambahkan $2809$ dan $676$ .

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Langkah 10

Ini adalah hasil untuk semua sudut dan sisi untuk segitiga yang diberikan.

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$