Trigonometri Contoh

(6, 10)

$(6, 10)$ ,

(12, 5)

$(12, 5)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan

6

$6$ dengan

12

$12$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan

10

$10$ dengan

5

$5$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

Langkah 2.2.2

Tambahkan

72

$72$ dan

50

$50$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

Langkah 3

Tentukan besaran dari

a⃗

$a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan

6

$6$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan

10

$10$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan

36

$36$ dan

100

$100$ .

| a⃗ | = \sqrt{136}

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali

136

$136$ sebagai

2^{2} \cdot 34

$2^{2} \cdot 34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Faktorkan

4

$4$ dari

136

$136$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

Langkah 3.2.4.2

Tulis kembali

4

$4$ sebagai

2^{2}

$2^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Langkah 3.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari

b⃗

$b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan

12

$12$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan

5

$5$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan

144

$144$ dan

25

$25$ .

| b⃗ | = \sqrt{169}

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali

169

$169$ sebagai

13^{2}

$13^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari

122

$122$ dan

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan

2

$2$ dari

122

$122$ .

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan

2

$2$ dari

2 \sqrt{34} \cdot 13

$2 \sqrt{34} \cdot 13$ .

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

Langkah 6.2

Pindahkan

13

$13$ ke sebelah kiri

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ .

θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

Langkah 6.3

Kalikan

\frac{61}{13 \sqrt{34}}

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ dengan

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Langkah 6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan

\frac{61}{13 \sqrt{34}}

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ dengan

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Langkah 6.4.2

Pindahkan

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Langkah 6.4.3

Naikkan

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ menjadi pangkat

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Langkah 6.4.4

Naikkan

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ menjadi pangkat

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Langkah 6.4.5

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.4.6

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

Langkah 6.4.7

Tulis kembali

{\sqrt{34}}^{2}

${\sqrt{34}}^{2}$ sebagai

34

$34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.7.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ sebagai

34^{\frac{1}{2}}

$34^{\frac{1}{2}}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.4.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.4.7.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

Langkah 6.4.7.5

Evaluasi eksponennya.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

Langkah 6.5

Kalikan

13

$13$ dengan

34

$34$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

Langkah 6.6

Evaluasi

\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})

$\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ .

θ = 36.41637851

$θ = 36.41637851$

θ = 36.41637851

$θ = 36.41637851$