Trigonometri Contoh

$(4, - 3)$ , $(9, 4)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot 9 - 3 \cdot 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 36 - 3 \cdot 4$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 36 - 12$

Langkah 2.2.2

Kurangi $12$ dengan $36$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 24$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Langkah 3.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| a⃗ | = 5$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 4^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 4^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 16}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $81$ dan $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{24}{5 \sqrt{97}})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{24}{5 \sqrt{97}}$ dengan $\frac{\sqrt{97}}{\sqrt{97}}$ .

$θ = \arccos (\frac{24}{5 \sqrt{97}} \cdot \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{97}})$

Langkah 6.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\frac{24}{5 \sqrt{97}}$ dengan $\frac{\sqrt{97}}{\sqrt{97}}$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 \sqrt{97} \sqrt{97}})$

Langkah 6.2.2

Pindahkan $\sqrt{97}$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 (\sqrt{97} \sqrt{97})})$

Langkah 6.2.3

Naikkan $\sqrt{97}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 ({\sqrt{97}}^{1} \sqrt{97})})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $\sqrt{97}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 ({\sqrt{97}}^{1} {\sqrt{97}}^{1})})$

Langkah 6.2.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 {\sqrt{97}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.2.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 {\sqrt{97}}^{2}})$

Langkah 6.2.7

Tulis kembali ${\sqrt{97}}^{2}$ sebagai $97$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{97}$ sebagai $97^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 {(97^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.2.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 \cdot 97^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.2.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 \cdot 97^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 \cdot 97^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.2.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 \cdot 97^{1}})$

Langkah 6.2.7.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{5 \cdot 97})$

Langkah 6.3

Kalikan $5$ dengan $97$ .

$θ = \arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{485})$

Langkah 6.4

Evaluasi $\arccos (\frac{24 \sqrt{97}}{485})$ .

$θ = 60.83238662$