Trigonometri Contoh

$(3, 7)$ , $(6, 9)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 6 + 7 \cdot 9$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 18 + 7 \cdot 9$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $7$ dengan $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 18 + 63$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $18$ dan $63$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 7^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 7^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 49}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $9$ dan $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{58}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{6^{2} + 9^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 9^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 81}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $36$ dan $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{117}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $117$ sebagai $3^{2} \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $9$ dari $117$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (13)}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 13}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{13}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{81}{\sqrt{58} (3 \sqrt{13})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $81$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 27}{\sqrt{58} (3 \sqrt{13})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $\sqrt{58} (3 \sqrt{13})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 27}{3 (\sqrt{58} (\sqrt{13}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 27}{3 (\sqrt{58} (\sqrt{13}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{58} (\sqrt{13})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{58 \cdot 13}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $58$ dengan $13$ .

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{754}})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{27}{\sqrt{754}}$ dengan $\frac{\sqrt{754}}{\sqrt{754}}$ .

$θ = \arccos (\frac{27}{\sqrt{754}} \cdot \frac{\sqrt{754}}{\sqrt{754}})$

Langkah 6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $\frac{27}{\sqrt{754}}$ dengan $\frac{\sqrt{754}}{\sqrt{754}}$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{\sqrt{754} \sqrt{754}})$

Langkah 6.4.2

Naikkan $\sqrt{754}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{{\sqrt{754}}^{1} \sqrt{754}})$

Langkah 6.4.3

Naikkan $\sqrt{754}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{{\sqrt{754}}^{1} {\sqrt{754}}^{1}})$

Langkah 6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{{\sqrt{754}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{{\sqrt{754}}^{2}})$

Langkah 6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{754}}^{2}$ sebagai $754$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{754}$ sebagai $754^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{{(754^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{754^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{754^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{754^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{754^{1}})$

Langkah 6.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{754})$

Langkah 6.5

Evaluasi $\arccos (\frac{27 \sqrt{754}}{754})$ .

$θ = 10.49147701$