Trigonometri Contoh

$(2, - 1)$ , $(- 2, - 3)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 2 - - 3$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 - - 3$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $4$ dan $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5} \sqrt{13}})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5 \cdot 13}})$

Langkah 6.1.2

Kalikan $5$ dengan $13$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{65}})$

Langkah 6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{65}})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{65}}$ dengan $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}))$

Langkah 6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{65}}$ dengan $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}})$

Langkah 6.4.2

Naikkan $\sqrt{65}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}})$

Langkah 6.4.3

Naikkan $\sqrt{65}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}})$

Langkah 6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}})$

Langkah 6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{65}}^{2}$ sebagai $65$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{65}$ sebagai $65^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{1}})$

Langkah 6.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65})$

Langkah 6.5

Evaluasi $\arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65})$ .

$θ = 97.12501634$