Trigonometri Contoh

$(2, \sqrt{3})$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Langkah 2.2.1.2.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Langkah 2.2.1.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Langkah 2.2.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

Langkah 2.2.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.2.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.2.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.2.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.2.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

Langkah 2.2.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

Langkah 2.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

Langkah 3.2.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 4.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

Langkah 4.2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

Langkah 4.2.5

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

Langkah 4.2.6

Tambahkan $16$ dan $12$ .

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

Langkah 4.2.7

Tulis kembali $28$ sebagai $2^{2} \cdot 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Faktorkan $4$ dari $28$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

Langkah 4.2.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Langkah 4.2.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Langkah 6.2.2

Naikkan $\sqrt{7}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Langkah 6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Langkah 6.3

Tulis kembali ${\sqrt{7}}^{2}$ sebagai $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7}$ sebagai $7^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

Langkah 6.3.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

Langkah 6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

Langkah 6.5

Evaluasi $\arccos (- \frac{1}{7})$ .

$θ = 98.2132107$