Trigonometri Contoh

$(1, 2)$ , $(- 2, - 4)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 + 2 \cdot - 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 2 \cdot - 4$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 8$

Langkah 2.2.2

Kurangi $8$ dengan $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $4$ dan $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Langkah 4.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- 10}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

Langkah 6.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Langkah 6.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Langkah 6.2.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Langkah 6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Langkah 6.3

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{1}})$

Langkah 6.3.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

Langkah 6.4

Bagilah $- 5$ dengan $5$ .

$θ = \arccos (- 1)$

Langkah 6.5

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $180$ .

$θ = 180$