Trigonometri Contoh

(1, \frac{5}{3})

$(1, \frac{5}{3})$ ,

(1, - 8)

$(1, - 8)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan

1

$1$ dengan

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan

\frac{5}{3} \cdot - 8

$\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Gabungkan

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ dan

- 8

$- 8$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan

5

$5$ dengan

- 8

$- 8$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Langkah 2.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Langkah 2.2.2

Tuliskan

1

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Langkah 2.2.4

Kurangi

40

$40$ dengan

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Langkah 2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Langkah 3

Tentukan besaran dari

a⃗

$a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 3.2.3

Naikkan

5

$5$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Langkah 3.2.4

Naikkan

3

$3$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Langkah 3.2.5

Tuliskan

1

$1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Langkah 3.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Langkah 3.2.7

Tambahkan

9

$9$ dan

25

$25$ .

| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Langkah 3.2.8

Tulis kembali

\sqrt{\frac{34}{9}}

$\sqrt{\frac{34}{9}}$ sebagai

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Langkah 3.2.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1

Tulis kembali

9

$9$ sebagai

3^{2}

$3^{2}$ .

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 3.2.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari

b⃗

$b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan

- 8

$- 8$ menjadi pangkat

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan

1

$1$ dan

64

$64$ .

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Langkah 6.2

Gabungkan

\frac{\sqrt{34}}{3}

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ dan

\sqrt{65}

$\sqrt{65}$ .

θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Langkah 6.3.2

Kalikan

34

$34$ dengan

65

$65$ .

θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Langkah 6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Langkah 6.5

Kalikan

\frac{3}{\sqrt{2210}}

$\frac{3}{\sqrt{2210}}$ dengan

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Pindahkan negatif pertama pada

- \frac{37}{3}

$- \frac{37}{3}$ ke dalam pembilangnya.

θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.7

Gabungkan

- 37

$- 37$ dan

\frac{1}{\sqrt{2210}}

$\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.9

Kalikan

\frac{37}{\sqrt{2210}}

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ dengan

\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Langkah 6.10

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Kalikan

\frac{37}{\sqrt{2210}}

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ dengan

\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Langkah 6.10.2

Naikkan

\sqrt{2210}

$\sqrt{2210}$ menjadi pangkat

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Langkah 6.10.3

Naikkan

\sqrt{2210}

$\sqrt{2210}$ menjadi pangkat

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Langkah 6.10.4

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.10.5

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Langkah 6.10.6

Tulis kembali

{\sqrt{2210}}^{2}

${\sqrt{2210}}^{2}$ sebagai

2210

$2210$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.6.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{2210}

$\sqrt{2210}$ sebagai

2210^{\frac{1}{2}}

$2210^{\frac{1}{2}}$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.10.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.10.6.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.10.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.10.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Langkah 6.10.6.5

Evaluasi eksponennya.

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Langkah 6.11

Evaluasi

\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})

$\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

θ = 141.91122711

$θ = 141.91122711$

θ = 141.91122711

$θ = 141.91122711$