Trigonometri Contoh

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Langkah 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Langkah 2

Find the dot product.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Langkah 2.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Langkah 2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Langkah 2.2.4

Kurangi $40$ dengan $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Langkah 2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Langkah 3

Tentukan besaran dari $a⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 3.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Langkah 3.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Langkah 3.2.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Langkah 3.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Langkah 3.2.7

Tambahkan $9$ dan $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Langkah 3.2.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{34}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Langkah 3.2.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 3.2.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Langkah 4

Tentukan besaran dari $b⃗$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $1$ dan $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{\sqrt{34}}{3}$ dan $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Langkah 6.3.2

Kalikan $34$ dengan $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Langkah 6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Langkah 6.5

Kalikan $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ dengan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{37}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.7

Gabungkan $- 37$ dan $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Langkah 6.9

Kalikan $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ dengan $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Langkah 6.10

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Kalikan $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ dengan $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Langkah 6.10.2

Naikkan $\sqrt{2210}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Langkah 6.10.3

Naikkan $\sqrt{2210}$ menjadi pangkat $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Langkah 6.10.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Langkah 6.10.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Langkah 6.10.6

Tulis kembali ${\sqrt{2210}}^{2}$ sebagai $2210$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2210}$ sebagai $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Langkah 6.10.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Langkah 6.10.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.10.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Langkah 6.10.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Langkah 6.10.6.5

Evaluasi eksponennya.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Langkah 6.11

Evaluasi $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$