Trigonometri Contoh

$g (x) = \frac{1}{2^{x - 3}} + 1$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{1}{2^{x - 3}} + 1$ tidak terdefinisi.

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 2

Asimtot tegak terjadi pada daerah diskontinuitas tanpa batas.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Langkah 3

Evaluasi $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}}$ untuk mencari asimtot datarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Langkah 3.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Langkah 3.1.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Langkah 3.1.1.2.2

Karena eksponen $x - 3$ mendekati $\infty$ , jumlah $2^{x - 3}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Langkah 3.1.1.2.3

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Langkah 3.1.1.3

Karena eksponen $x - 3$ mendekati $\infty$ , jumlah $2^{x - 3}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.1.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 2^{x - 3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = 2^{x}$ dan $g (x) = x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.4.6

Kalikan $2^{x - 3}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.5

Tambahkan $0$ dan $2^{x - 3} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Langkah 3.1.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = 2^{x}$ dan $g (x) = x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.1.3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.1.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Langkah 3.1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Langkah 3.1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Langkah 3.1.3.9

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}$

Langkah 3.1.3.10

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}$

Langkah 3.1.3.11

Kalikan $2^{x - 3}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

Langkah 3.1.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2^{x - 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

Langkah 3.1.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Langkah 3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Langkah 3.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} 1$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$1$

Langkah 4

Tuliskan asimtot datarnya:

$y = 1$

Langkah 5

Tidak ada asimtot miring karena pangkat dari pembilangnya lebih kecil dari atau sama dengan pangkat dari penyebutnya.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 6

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Tidak Ada Asimtot Tegak

Asimtot Datar: $y = 1$

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 7