Trigonometri Contoh

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur argumen dalam $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Perkalian silang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kalikan silang dengan mengatur hasil kali pembilang sisi kanan dan penyebut sisi kiri agar sama dengan hasil kali pembilang sisi kiri dan penyebut sisi kanan.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Langkah 1.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali sehingga $81 \sqrt{x - 1}$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Langkah 1.2.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Naikkan $81$ menjadi pangkat $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Sederhanakan.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.2.1.6

Kalikan $6561$ dengan $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Langkah 1.2.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Tambahkan $6561$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$6561 x < 6561$

Langkah 1.2.5.2

Bagi setiap suku pada $6561 x < 6561$ dengan $6561$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $6561 x < 6561$ dengan $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Langkah 1.2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6561$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Langkah 1.2.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Bagilah $6561$ dengan $6561$ .

$x < 1$

Langkah 1.2.6

Tentukan domain dari $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x - 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x - 1 \geq 0$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq 1$

Langkah 1.2.6.3

Atur penyebut dalam $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.6.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.2.6.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(1, \infty)$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x > 1$

Langkah 1.3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x - 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x - 1 \geq 0$

Langkah 1.4

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq 1$

Langkah 1.5

Atur penyebut dalam $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 1 = 0$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.7

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 1}$

Notasi Interval:

$(1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 1}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik akhir pernyataan akarnya, substitusikan nilai $x$ $1$ , yang merupakan nilai terkecil dalam domain tersebut, ke dalam $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Langkah 2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

Langkah 2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

$f (1) = Undefined$

Tidak terdefinisi

Langkah 3

Titik akhir pernyataan akarnya adalah $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ dari domain. Ini akan lebih berguna untuk memilih nilai-nilainya sehingga berada di sebelah nilai $x$ dari titik akhir pernyataan bentuk akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $2$ ke dalam $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(2, 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Langkah 4.1.2.1.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $81$ dengan $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

Langkah 4.1.2.3

Basis logaritma $3$ dari $\frac{81}{1}$ adalah $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Tulis kembali sebagai persamaan.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Langkah 4.1.2.3.2

Tulis kembali $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ dalam bentuk eksponensial menggunakan definisi logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b$ tidak sama dengan $1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Langkah 4.1.2.3.3

Buat pernyataan yang setara dalam persamaan yang semuanya memiliki bilangan pokok yang sama.

$3^{x} = 3^{4}$

Langkah 4.1.2.3.4

Karena bilangan pokoknya sama, dua pernyataannya sama hanya jika pangkatnya juga sama.

$x = 4$

Langkah 4.1.2.3.5

Variabel $x$ sama dengan $4$ .

$f (2) = 4$

Langkah 4.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $3$ ke dalam $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Langkah 4.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Langkah 4.3

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Langkah 5