Trigonometri Contoh

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Langkah 1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1$ ditambah $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Langkah 1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Langkah 1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Langkah 3

Atur $2 \cos (3 x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 \cos (3 x) - 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 \cos (3 x) = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (3 x) = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (3 x) = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (3 x)$ dengan $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.5

Bagi setiap suku pada $3 x = \frac{π}{3}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Bagilah setiap suku di $3 x = \frac{π}{3}$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Langkah 3.2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Langkah 3.2.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.5.3.2

Kalikan $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Langkah 3.2.5.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Langkah 3.2.6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 3.2.7.1.5

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 3.2.7.2

Bagi setiap suku pada $3 x = \frac{5 π}{3}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = \frac{5 π}{3}$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Langkah 3.2.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Langkah 3.2.7.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Langkah 3.2.7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.7.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Langkah 3.2.7.2.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Langkah 3.2.8

Tentukan periode dari $\cos (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.8.2

Ganti $b$ dengan $3$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Langkah 3.2.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2.9

Periode dari fungsi $\cos (3 x)$ adalah $\frac{2 π}{3}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{2 π}{3}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\cos (3 x) + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\cos (3 x) + 3$ sama dengan $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\cos (3 x) + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (3 x) = - 3$

Langkah 4.2.2

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- 3$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Langkah 7

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 7.1.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Langkah 7.1.3

Sisi kiri $- 5.98979219$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.2

Uji nilai pada interval $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 7.2.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Langkah 7.2.3

Sisi kiri $3.64470539$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 7.3

Uji nilai pada interval $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 7.3.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Langkah 7.3.3

Sisi kiri $- 5.8953346$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 7.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Benar

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Salah

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Benar

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Benar

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Salah

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Benar

Langkah 8

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ atau $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 9