Trigonometri Contoh

$144 x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $16$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{144 x^{2}}{16} - \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + 4}$

Langkah 5.3.5

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9}}$

Langkah 5.3.6

Gabungkan $4$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}}$

Langkah 5.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{1 + 4 \cdot 9}{9}}$

Langkah 5.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.1

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{1 + 36}{9}}$

Langkah 5.3.8.2

Tambahkan $1$ dan $36$ .

$\sqrt{\frac{37}{9}}$

Langkah 5.3.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{37}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{9}}$

Langkah 5.3.10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3^{2}}}$

Langkah 5.3.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{37}}{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\frac{1}{3}, 0)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\frac{\sqrt{37}}{3}, 0)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \frac{\sqrt{37}}{3}, 0)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(\frac{\sqrt{37}}{3}, 0), (- \frac{\sqrt{37}}{3}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(2)}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + 2^{2}} \cdot 3$

Langkah 8.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + 2^{2}} \cdot 3$

Langkah 8.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + 2^{2}} \cdot 3$

Langkah 8.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + 2^{2}} \cdot 3$

Langkah 8.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + 4} \cdot 3$

Langkah 8.3.6

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Langkah 8.3.7

Gabungkan $4$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}} \cdot 3$

Langkah 8.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{1 + 4 \cdot 9}{9}} \cdot 3$

Langkah 8.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.9.1

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{1 + 36}{9}} \cdot 3$

Langkah 8.3.9.2

Tambahkan $1$ dan $36$ .

$\sqrt{\frac{37}{9}} \cdot 3$

Langkah 8.3.10

Tulis kembali $\sqrt{\frac{37}{9}}$ sebagai $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{9}} \cdot 3$

Langkah 8.3.11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.11.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3^{2}}} \cdot 3$

Langkah 8.3.11.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{37}}{3} \cdot 3$

Langkah 8.3.12

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{37}}{3} \cdot 3$

Langkah 8.3.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{37}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{\frac{2^{2}}{\sqrt{37}}}{3}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{37}} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 9.3.2

Gabungkan.

$\frac{2^{2} \cdot 1}{\sqrt{37} \cdot 3}$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $2^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{2^{2}}{\sqrt{37} \cdot 3}$

Langkah 9.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{37}$ .

$\frac{2^{2}}{3 \sqrt{37}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{3 \sqrt{37}}$

Langkah 9.3.4

Kalikan $\frac{4}{3 \sqrt{37}}$ dengan $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{4}{3 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Langkah 9.3.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.1

Kalikan $\frac{4}{3 \sqrt{37}}$ dengan $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 \sqrt{37} \sqrt{37}}$

Langkah 9.3.5.2

Pindahkan $\sqrt{37}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 (\sqrt{37} \sqrt{37})}$

Langkah 9.3.5.3

Naikkan $\sqrt{37}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})}$

Langkah 9.3.5.4

Naikkan $\sqrt{37}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})}$

Langkah 9.3.5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 {\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 {\sqrt{37}}^{2}}$

Langkah 9.3.5.7

Tulis kembali ${\sqrt{37}}^{2}$ sebagai $37$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{37}$ sebagai $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.5.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.5.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 \cdot 37^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.5.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 \cdot 37^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.5.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 \cdot 37^{1}}$

Langkah 9.3.5.7.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{4 \sqrt{37}}{3 \cdot 37}$

Langkah 9.3.6

Kalikan $3$ dengan $37$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{111}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 6 \cdot x + 0$

Langkah 11

Tambahkan $6 \cdot x$ dan $0$ .

$y = 6 x$

Langkah 12

Tambahkan $- 6 \cdot x$ dan $0$ .

$y = - 6 x$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = 6 x, y = - 6 x$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Titik api: $(\frac{\sqrt{37}}{3}, 0), (- \frac{\sqrt{37}}{3}, 0)$

Eksentrisitas: $\sqrt{37}$

Parameter Fokus: $\frac{4 \sqrt{37}}{111}$

Asimtot: $y = 6 x$ , $y = - 6 x$

Langkah 15