Trigonometri Contoh

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

Langkah 1

Kurangkan $3 \cos (x)$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

Langkah 2

Ganti $2 \sin^{2} (x)$ dengan $2 (1 - \cos^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

Langkah 5

Substitusikan $u$ untuk $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

Langkah 6

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2} - 3 u + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

Langkah 6.1.3

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Langkah 6.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 u$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Langkah 6.2.1.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1$ ditambah $4$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

Langkah 6.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Langkah 6.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Langkah 6.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

Langkah 6.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

Langkah 6.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

Langkah 7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Langkah 8

Atur $2 u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $2 u - 1$ sama dengan $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Langkah 8.2

Selesaikan $2 u - 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 u = 1$

Langkah 8.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Langkah 9

Atur $u + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $u + 2$ sama dengan $0$ .

$u + 2 = 0$

Langkah 9.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 2$

Langkah 10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ benar.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 11

Substitusikan $\cos (x)$ untuk $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Langkah 12

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 13.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 13.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 13.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 13.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 13.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 13.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 13.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\cos (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Jangkauan kosinusnya adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- 2$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 15

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Langkah 17

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 17.1.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

Langkah 17.1.3

Sisi kiri $0.03982971$ lebih besar dari sisi kanan $- 2.96997748$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 17.2

Uji nilai pada interval $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 17.2.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

Langkah 17.2.3

Sisi kiri $0.15614604$ tidak lebih besar dari sisi kanan $2.88051085$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 17.3

Uji nilai pada interval $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 9$

Langkah 17.3.2

Ganti $x$ dengan $9$ pada pertidaksamaan asal.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

Langkah 17.3.3

Sisi kiri $0.33968329$ lebih besar dari sisi kanan $- 2.73339078$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 17.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Benar

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Salah

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Benar

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Benar

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Salah

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Benar

Langkah 18

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ atau $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 19