Trigonometri Contoh

$\tan (67.5)$

Langkah 1

Tulis kembali $67.5$ sebagai sebuah sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya yang diketahui dibagi dengan $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

Langkah 2

Terapkan identitas setengah sudut tangen.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ karena tangen positif pada kuadran pertama.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4.2

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4.3

Kalikan $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Langkah 4.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Langkah 4.7

Nilai eksak dari $\cos (45)$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Langkah 4.8

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Langkah 4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Langkah 4.10

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Langkah 4.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Langkah 4.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Langkah 4.12

Kalikan $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ dengan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Langkah 4.13

Kalikan $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ dengan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Langkah 4.14

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Langkah 4.15

Sederhanakan.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.16

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.17

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.17.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.18

Gabungkan $\sqrt{2}$ dan $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Langkah 4.19

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Terapkan sifat distributif.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.19.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Langkah 4.19.3

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Langkah 4.19.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Langkah 4.19.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Langkah 4.19.4.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Langkah 4.19.5

Hapus faktor persekutuan dari $2 \sqrt{2} + 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Langkah 4.19.5.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Langkah 4.19.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Langkah 4.19.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.5.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Langkah 4.19.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Langkah 4.19.5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Langkah 4.19.5.4.4

Bagilah $\sqrt{2} + 1$ dengan $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Langkah 4.20

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Langkah 4.21

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Bentuk Desimal:

$2.41421356 \dots$