Trigonometri Contoh

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Langkah 1

Bagi setiap suku pada $\tan (x) < 2 \sin (x)$ dengan $\tan (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $\tan (x) < 2 \sin (x)$ dengan $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Langkah 1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan pecahan.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 1.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Langkah 1.3.4

Tulis $\sin (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Langkah 1.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Langkah 1.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Langkah 1.3.6

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Langkah 2

Tulis kembali sehingga $\cos (x)$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$2 \cos (x) > 1$

Langkah 3

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) > 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) > 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Langkah 4

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Langkah 6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Langkah 7

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Langkah 7.3.2

Kurangi $π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Langkah 8

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 8.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 9

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Tentukan domain dari $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur argumen dalam $\tan (x)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 11

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Langkah 12

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.31$

Langkah 12.1.2

Ganti $x$ dengan $1.31$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Langkah 12.1.3

Sisi kiri $3.74708097$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $1.9323699$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.2

Uji nilai pada interval $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 12.2.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Langkah 12.2.3

Sisi kiri $- 0.14254654$ lebih kecil dari sisi kanan $0.28224001$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.3

Uji nilai pada interval $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 5$

Langkah 12.3.2

Ganti $x$ dengan $5$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Langkah 12.3.3

Sisi kiri $- 3.380515$ lebih kecil dari sisi kanan $- 1.91784854$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.4

Uji nilai pada interval $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 12.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Langkah 12.4.3

Sisi kiri $- 0.29100619$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 0.55883099$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.5

Uji nilai pada interval $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Pilih nilai pada interval $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 7.59$

Langkah 12.5.2

Ganti $x$ dengan $7.59$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Langkah 12.5.3

Sisi kiri $3.69973691$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $1.93071743$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.6

Uji nilai pada interval $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 9$

Langkah 12.6.2

Ganti $x$ dengan $9$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Langkah 12.6.3

Sisi kiri $- 0.45231565$ lebih kecil dari sisi kanan $0.82423697$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.7

Uji nilai pada interval $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.1

Pilih nilai pada interval $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 11$

Langkah 12.7.2

Ganti $x$ dengan $11$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Langkah 12.7.3

Sisi kiri $- 225.95084645$ lebih kecil dari sisi kanan $- 1.99998041$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.8

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Salah

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Benar

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Benar

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Salah

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Salah

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Benar

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Benar

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Salah

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Benar

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Benar

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Salah

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Salah

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Benar

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Benar

Langkah 13

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Langkah 14

Gabungkan interval-intervalnya.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15