Trigonometri Contoh

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan

u = csc (x)

$u = \csc (x)$ . Masukkan

$u$ untuk semua kejadian

$\csc (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan

$u^{2} - u - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Mempertimbangkan bentuk

$x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya

$b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya

$- 2$ dan jumlahnya

$- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 1.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$\csc (x)$ .

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

Langkah 3

Atur

$\csc (x) - 2$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur

$\csc (x) - 2$ sama dengan

$0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan

$\csc (x) - 2 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan

$2$ ke kedua sisi persamaan.

$\csc (x) = 2$

Langkah 3.2.2

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (2)$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Nilai eksak dari

$arccsc (2)$ adalah

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.4

Fungsi kosekan positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan

$π - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Untuk menuliskan

$π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.5.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Gabungkan

$π$ dan

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 3.2.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 3.2.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.3.1

Pindahkan

$6$ ke sebelah kiri

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 3.2.5.3.2

Kurangi

$π$ dengan

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Langkah 3.2.6

Tentukan periode dari

$\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.6.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.2.6.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 3.2.7

Periode dari fungsi

$\csc (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 4

Atur

$\csc (x) + 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur

$\csc (x) + 1$ sama dengan

$0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan

$\csc (x) + 1 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan

$1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\csc (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 1)$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Nilai eksak dari

$arccsc (- 1)$ adalah

$- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kurangi

$2 π$ dengan

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 4.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari

$\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari

$2 π$ , dan koterminal dengan

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.6

Tentukan periode dari

$\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.6.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.6.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.7

Tambahkan

$2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Tambahkan

$2 π$ ke

$- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 4.2.7.2

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.7.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.3.1

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.2.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.4.1

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 4.2.7.4.2

Kurangi

$π$ dengan

$4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.7.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi

$\csc (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 6

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$