Trigonometri Contoh

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Langkah 1

Substitusikan $u = z^{2}$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Langkah 2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ , dan $c = 16$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.4

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.5.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.6

Kurangi $64$ dengan $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.7

Tulis kembali $- 32$ sebagai $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.8

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (32)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.9

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.10

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.10.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.10.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.1.12

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Langkah 5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Langkah 6

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = z^{2}$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan pertama untuk $z$ .

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Langkah 8

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 8.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 8.2.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 8.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 9

Selesaikan persamaan kedua untuk $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Langkah 10

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Hilangkan tanda kurung.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Langkah 10.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 10.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 10.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 10.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ adalah $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$