Trigonometri Contoh

tan (x) = \frac{sin (x)}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}}

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Langkah 1

Karena akarnya berada pada sisi kanan persamaan, tukar ruasnya sehingga berada pada sisi kiri persamaan.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Langkah 2

Perkalian silang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan silang dengan mengatur hasil kali pembilang sisi kanan dan penyebut sisi kiri agar sama dengan hasil kali pembilang sisi kiri dan penyebut sisi kanan.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis kembali

$\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali

$1$ sebagai

$1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Langkah 2.2.1.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana

$a = 1$ dan

$b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Langkah 2.2.1.4

Gabungkan

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dan

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Langkah 2.2.1.5

Pisahkan pecahan.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Langkah 2.2.1.6

Konversikan dari

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke

$\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Langkah 2.2.1.7

Bagilah

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ dengan

$1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ sebagai

${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Perluas

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1.1

Kalikan

$1$ dengan

$1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.2

Kalikan

$- \sin (x)$ dengan

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.3

Kalikan

$\sin (x)$ dengan

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.5

Kalikan

$- \sin (x) \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1.5.1

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.5.2

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.5.3

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.1.5.4

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.2

Tambahkan

$- \sin (x)$ dan

$\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.2.3

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan eksponen dalam

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.5

Sederhanakan.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.6

Tulis kembali dalam bentuk sinus dan kosinus, kemudian batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.6.1

Susun kembali

$\cos (x)$ dan

$\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.6.2

Tulis kembali

$\cos (x) \tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Langkah 4.2.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Langkah 5

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena eksponennya sama, bilangan pokok dari eksponen pada kedua sisi persamaan harus sama.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Langkah 5.2

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali persamaan nilai mutlak sebagai empat persamaan tanpa bar nilai mutlak.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Langkah 5.2.2

Setelah disederhanakan, hanya ada dua persamaan unik yang harus diselesaikan.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Langkah 5.2.3

Selesaikan

$\sin (x) = \sin (x)$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Agar dua fungsinya sama, argumen dari masing-masing harus sama.

$x = x$

Langkah 5.2.3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung

$x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Kurangkan

$x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x - x = 0$

Langkah 5.2.3.2.2

Kurangi

$x$ dengan

$x$ .

$0 = 0$

Langkah 5.2.3.3

Karena

$0 = 0$ , persamaan tersebut selalu benar.

Semua bilangan riil

Langkah 5.2.4

Selesaikan

$\sin (x) = - \sin (x)$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung

$\sin (x)$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Tambahkan

$\sin (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Langkah 5.2.4.1.2

Tambahkan

$\sin (x)$ dan

$\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Langkah 5.2.4.2

Bagi setiap suku pada

$2 \sin (x) = 0$ dengan

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Bagilah setiap suku di

$2 \sin (x) = 0$ dengan

$2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.2.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.2.4.2.2.1.2

Bagilah

$\sin (x)$ dengan

$1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Langkah 5.2.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.3.1

Bagilah

$0$ dengan

$2$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 5.2.4.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 5.2.4.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Nilai eksak dari

$\arcsin (0)$ adalah

$0$ .

$x = 0$

Langkah 5.2.4.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 5.2.4.6

Kurangi

$0$ dengan

$π$ .

$x = π$

Langkah 5.2.4.7

Tentukan periode dari

$\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.4.7.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.4.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.4.7.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.4.8

Periode dari fungsi

$\sin (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 6

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$