Trigonometri Contoh

$\sin (t) + \sqrt{3} \cos (t) = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\sin (t)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{3} \cos (t) = 1 - \sin (t)$

Langkah 2

Kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(\sqrt{3} \cos (t))}^{2} = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3

Sederhanakan ${(\sqrt{3} \cos (t))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\sqrt{3} \cos (t)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3^{1} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$3 \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan ${(1 - \sin (t))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali ${(1 - \sin (t))}^{2}$ sebagai $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ .

$3 \cos^{2} (t) = (1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$

Langkah 4.2

Perluas $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$3 \cos^{2} (t) = 1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t))$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$3 \cos^{2} (t) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t))$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$3 \cos^{2} (t) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

Langkah 4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

Langkah 4.3.1.2

Kalikan $- \sin (t)$ dengan $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

Langkah 4.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t))$

Langkah 4.3.1.4

Kalikan $- \sin (t) (- \sin (t))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t)$

Langkah 4.3.1.4.2

Kalikan $\sin (t)$ dengan $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t)$

Langkah 4.3.1.4.3

Naikkan $\sin (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)$

Langkah 4.3.1.4.4

Naikkan $\sin (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)$

Langkah 4.3.1.4.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}$

Langkah 4.3.1.4.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t)$

Langkah 4.3.2

Kurangi $\sin (t)$ dengan $- \sin (t)$ .

$3 \cos^{2} (t) = 1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$

Langkah 5

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 \cos^{2} (t) - 1 = - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$

Langkah 5.2

Tambahkan $2 \sin (t)$ ke kedua sisi persamaan.

$3 \cos^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) = \sin^{2} (t)$

Langkah 5.3

Kurangkan $\sin^{2} (t)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 \cos^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 6

Ganti $3 \cos^{2} (t)$ dengan $3 (1 - \sin^{2} (t))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$3 \cdot 1 + 3 (- \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + 3 (- \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$3 - 3 \sin^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$- 3 \sin^{2} (t) + 2 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

Langkah 8.2

Kurangi $\sin^{2} (t)$ dengan $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$- 4 \sin^{2} (t) + 2 + 2 \sin (t) = 0$

Langkah 9

Susun ulang polinomial tersebut.

$- 4 \sin^{2} (t) + 2 \sin (t) + 2 = 0$

Langkah 10

Substitusikan $u$ untuk $\sin (t)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Langkah 11

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Langkah 11.1.2

Faktorkan $- 2$ dari $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Langkah 11.1.3

Faktorkan $- 2$ dari $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Langkah 11.1.4

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Langkah 11.1.5

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Langkah 11.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Langkah 11.2.1.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Langkah 11.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 11.2.1.1.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 11.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 11.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Langkah 11.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 11.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Langkah 12

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Langkah 13

Atur $2 u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $2 u + 1$ sama dengan $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Langkah 13.2

Selesaikan $2 u + 1 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u = - 1$

Langkah 13.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 13.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 13.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Langkah 13.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{1}{2}$

Langkah 14

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 14.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 15

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ benar.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 16

Substitusikan $\sin (t)$ untuk $u$ .

$\sin (t) = - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 17

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $t$ .

$\sin (t) = - \frac{1}{2}$

$\sin (t) = 1$

Langkah 18

Selesaikan $t$ dalam $\sin (t) = - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 18.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$t = - \frac{π}{6}$

Langkah 18.3

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$t = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 18.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 18.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$t = \frac{7 π}{6}$

Langkah 18.5

Tentukan periode dari $\sin (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 18.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 18.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 18.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 18.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 18.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 18.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 18.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 18.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 18.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 18.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$t = \frac{11 π}{6}$

Langkah 18.7

Periode dari fungsi $\sin (t)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$t = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 19

Selesaikan $t$ dalam $\sin (t) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (1)$

Langkah 19.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Langkah 19.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$t = π - \frac{π}{2}$

Langkah 19.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 19.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 19.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 19.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 19.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$t = \frac{π}{2}$

Langkah 19.5

Tentukan periode dari $\sin (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 19.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 19.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 19.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 19.6

Periode dari fungsi $\sin (t)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 20

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$t = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 21

Gabungkan jawabannya.

$t = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 22

Periksa setiap penyelesaian dengan mensubstitusikannya ke dalam $\sin (t) + \sqrt{3} \cos (t) = 1$ dan menyelesaikannya.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$